Уравнение разрешенное относительно производной

Уравнение разрешенное относительно производной

Рассмотрим уравнение вида

F ( x , y , y ‘ ) = 0 ,

не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ‘ , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений

Геометрически это означает , что в каждой точке задаётся несколько направлений поля (см.рис.2).

Следовательно через любую точку M ( x , y ) может проходить несколько интегральных кривых . Для того, чтобы выделить из этого множества единственную интегральную кривую, проходящую через заданную точку M ( x , y) , надо помимо значений ( x , y ) дополнительно задать в этой точке направление поля y ‘ ( x) = y ‘0 .

Задача Коши . Найти решение уравнения F ( x , y , y ‘ ) = 0, удовлетворяющее начальным условиям y ( x) = y и y ‘ ( x) = y ‘ , где y ‘ — решение уравнения F ( x , y , y ‘ ) = 0.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть в некоторой окрестности U точки (x , y , y ‘ ), где y ‘ — решение уравнения F ( x , y , y ‘ ) = 0, выполнены условия :

1) F( x , y , y ‘ ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные F’y и F’y ‘ по совокупности переменных ( x , y , y ‘ ) ;

2) значение производной Fy (x , y , y’ )0.

Тогда в некоторой окрестности точки x существует единственное решение уравнения F (x, y, y’) = 0, удовлетворяющее условиям y(x) = y и y’ (x) = y’ .

Метод введения параметра.

На практике при решении уравнений F( x , y , y ‘ ) = 0 часто используют следующий метод.

Предположим , что уравнение F( x , y , y ‘ ) = 0 “легко” решить относительно y : y = f ( x , y ‘ ). Тогда введем замену y ‘ = p ( параметр зависит от x ). Предполагая, что дифференциальное уравнение имеет решение y = y ( x ) , получим ( в силу уравнения )

Из этих равенств выражаем :

Это уравнение разрешено относительно производной . Пусть его общее решение имеет вид p = p ( x , C ) .Тогда общее решение заданного уравнения можно записать в виде y =f ( x , p ( x , C ) ). Решение найдено.

Таким методом можно решать , в частности , уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида называется уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных x и y . Частным случаем этого уравнения является уравнение Клеро. Оно имеет вид :

Пример 1 . Решить уравнение

Решение. Выразим из уравнения (5) переменную y :

.Заменим и получим

Продифференцируем его по x :

Из этих равенств получаем :

После подстановки этих выражений в (6) будем иметь

Ответ :

Этим методом можно также решать уравнения , в которых "легко" выражается переменная x . Рассмотрим

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Выразим из уравнения (7) переменную x и введём параметр p :

Продифференцируем уравнение (8) по p :

Отсюда в силу равенства dy = p dx получим :

Проинтегрируем это уравнение :

Таким образом , с учётом ( 8 ) , получаем общее решение в параметрическом виде :

Примеры. Решить уравнения :

Уравнения в полных дифференциалах.

Если в уравнении (9) функции

В этом случае уравнение (9) называют уравнением в полных дифференциалах. После интегрирования получим общее решение уравнения

Теорема 1. Пусть функции непрерывные в некоторой односвязной области . Тогда необходимым и достаточным условием того, что уравнение (9) — в полных дифференциалах , является условие

Читайте также:  Паяльная паста как пользоваться при пайке

Доказательство. 1. Необходимость.

Если выбрать функцию так, чтобы

то и , следовательно ,

Таким образом , в уравнении (9)

Теорема 1 доказана.

Из теоремы следует , что общее решение уравнения (9) можно записать в виде

если Функцию U можно также представить в виде

Предположим , что . Тогда можно попытаться найти такую функцию , чтобы . Функция называется интегрирующим множителем . В этом случае мы получаем уравнение

в полных дифференциалах. Следовательно, в силу теоремы 1,

Это уравнение позволяет найти интегрирующий множитель. Рассмотрим

Пример. Решить уравнение

Решение. Простой проверкой убеждаемся , что (10) не является уравнением в полных дифференциалах. Умножим его на неизвестную функцию :

Попробуем найти из уравнения :

Пусть . Обозначим через и получим

После подстановки этих выражений в (11) будем иметь :

Проинтегрируем полученное уравнение :

Таким образом, интегрирующий множитель можно взять в виде

Умножим теперь уравнение (10) на функцию

Теорема 2. Если функции M и N непрерывные , имеют непрерывные частные производные первого порядка по x и по y , и , то интегрирующий множитель существует.

Замечание. Точка ( x , y ), в которой M ( x , y ) = N ( x , y ) = 0 является особой точкой уравнения (9). Поведение решений в окрестности особой точки изучается в лекции 3.

Примеры. Решить дифференциальные уравнения :

Дифференциальные уравнения вида F(x, у, у’) = 0 можно решать следующими методами.

  • а) Разрешить уравнение относительно у’, т.е. из уравнения F(x, у, у’) = 0 выразить у’ через хиу. Получится одно или несколько уравнений вида у’ = /(х, у). Каждое из них далее нужно решить.
  • б) В некоторых случаях применим метод введения параметра. Пусть дифференциальное уравнение F(x, у, у‘) = 0 можно разрешить относительно у, т.е. записать в виде

Введя параметр получим

Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (16.37) и заменив dy на pdx (в силу (16.36)), получим уравнение вида

Если решение этого уравнения найдено в виде х = ф(/?), то, воспользовавшись равенством (16.37), получим решение исходного уравнения в параметрической записи: х = ф(/?), у = /(ф(/?), р)- Уравнения вида х = /(у, у’) решаются тем же методом.

Пример 16.17. Решить уравнение у’ 2 + х = 2у.

? Разрешив уравнение относительно у’, получим у = —-—. Вводим параметр р = у’:

Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем dy на pdx (в силу (16.36)): dy = dx + pdp, pdx = dx + pdp. Решаем полученное уравнение.

Переносим члены с dx влево, с dp вправо: dxf р — ^ j = pdp. Если

р —, то сокращаем в уравнении на р —: dx =-dp, х = р +

Подставляя х в (16.38), получаем решение в параметрической форме:

Читайте также:  Последняя сессия предыдущая сессия

При= 0,5 из (16.38), получаем еще решение 8у = 4х + 1. ?

Частным случаем уравнений вида (16.35) является так называемое уравнение Лагранжа:

Действительно, заменой р = у’ уравнение (16.39) приводится к виду у = X ? f + Ф(р).

Уравнение Лагранжа имеет особые решения у = х ? /(/7) + ф(/7), где р — любой из корней уравнения /(/>) = р.

Пример 16.18. Решить уравнение Лагранжа у = ху’ 2 + у’.

2 + р. Дифференцируя это равенство по х, получим

Это линейное уравнение имеет общее решение х = —-—т х

х (С + 1п|/>| — р), подставляя которое в формулу для у, получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Кроме того, уравнение имеет особые решения у = 0иу = х + 1, соответствующие корням рх = 0 ир2 = 1 уравнения р 2 = р. ?

Оглавление

Список сокращений. 3

1. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 5

1.1. Уравнения вида x=f(y,y’). 5

1.2. Уравнения вида y=f(x,y’). 6

1.3. Уравнение вида x=f(y’). 7

1.4. Уравнение вида y=f(y’). 7

2. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки. 8

2.1. Особые точки. 8

2.2. Криминанта. 9

2.3. Дискриминантная кривая. 9

2.4. Точки касания криминанты с контактной плоскостью. 10

2.5. Регулярные особые точки. 10

2.6. Теорема о нормальной форме. 10

2.7. Замечания и следствие из теоремы. 13

3. Примеры решения типовых уравнений. 15

3.3. Применение в «жизни». 16

Список сокращений

Русскоязычные сокращения

ОДУ Обыкновенные дифференциальные уравнения
Т.е. То есть

Введение

Дифференциальные уравнения являются одним из основных понятий современной математики. Дифференциальные уравнения, полученные в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Современное развитие физики и техники невозможно без использования дифференциальных уравнений. В данной курсовой работе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, а также исследование теоремы о нормальной форме уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности регулярной особой точки.

Цель курсовой работы

Более общий анализ отдельного раздела ОДУ.

В работе применен комплексный подход, заключающийся в использовании методов решения ОДУ и теории математического анализа.

Структура курсовой работы

Работа состоит из трех глав. В первой главе рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

В разделе 1.1 описаны основные термины и понятия, а также описывается основной метод решения таких уравнений. В последующих разделах (1.2 – 1.5) описываются несколько обобщенных случаев таких уравнений и метод их решения

Глава 2 посвящена теореме о нормальной форме уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности регулярной особой точки. В разделе 2.1 представлены вспомогательные, и в тоже время основные определения такого типа уравнений. В разделе 2.2 строится определение криминанты уравнения. В разделе 2.3. формулируется, непосредственно, сама теорема, ее пояснение и следствие из неё. В разделе 2.4 представлено подробное доказательство.

Читайте также:  Красивые стикеры для вайбера

В заключительной третьей главе представлена практическая часть курсовой работы.

Уравнения, не разрешенные относительно производной

(1),

где — непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно , то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида

.

Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений − это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной.

Стоит отметить, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Рассмотрим несколько типов таких уравнений.

1.1. Уравнения вида x=f(y,y’)

В этом случае переменная выражается явно через переменную и ее производную . Введем параметр . Продифференцируем уравнение по переменной . Получаем следующее:

.

Поскольку , то последнее выражение можно записать в виде:

.

Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией

,

где — произвольная постоянная .

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:

Если из этой системы исключить параметр , то общее решение можно выразить в явном виде .

1.2. Уравнения вида y=f(x,y’)

Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная явно зависит от и . Введем параметр и продифференцируем уравнение по переменной . В результате имеем:

или .

Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение . Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений:

,

которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме .

1.3. Уравнение вида x=f(y’)

В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную . Используя параметр , легко построить общее решение уравнения. Так как и

,

то справедливо соотношение:

.

Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме:

.

1.4. Уравнение вида y=f(y’)

Уравнение такого типа не содержит переменную и решается аналогичным образом. Используя параметр , можно записать: . Отсюда следует, что

.

Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:

.

Ссылка на основную публикацию
Тест для определения цвета волос
Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Тест графики видеокарты 3dmark
Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
Adblock detector