Уравнение неразрывности в дифференциальной форме

Уравнение неразрывности в дифференциальной форме

Урав-е неразрывности для элементарного потока жидкости в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Из математики известно : ,

где – дивергенция ( расходимость) векторного поля в данной точке.

( Для справки. Определение. Предел отношения потока Пполя через некоторую замкнутую поверхностьSк объему, ограниченному поверхностьюS, когдаSстягивается в точкуМ, называется дивергенцией, или расходимостью, поля в точкеМ.)

Другая форма записи уравнения неразрывности …

Попытаемся найти геометрический смысл слагаемых вида .

Рассмотрим грань (ребро кубика). Скорость левого ее конца , а скорость правого конца . За время ребро не только переместится в пространстве, но и за счет разности скоростей его концов удлинится (деформируется) на величину . Скорость удлинения ребра составит , а относительная скорость деформации ребра можно найти, если поделить эту скорость на длину грани . Получим .

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме можно истолковать так: сумма скоростей относительной деформации ребер жидкой частицы равна нулю. Жидкость движется так, что данная масса все время занимает один и тот же объем.

Уравнение неразрывности для потоков жидкости в гидравлической форме.

Если просуммировать расходы всех элементарных струек в каждом живом сечении потока, то получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении. Обычно его записывают в следующих видах:

Из сказанного видно, что для несжимаемой жидкости при установившемся движении жидкости расход во всех живых сечения потока одинаков, несмотря на то, что площади живого сечения и средние скорости в каждом сечении и могут быть разными.

Из уравнения неразрывности вытекает следующее важное соотношение:

т.е. средние скорости в живых сечениях потока обратно пропорциональны их площадям.

Из уравнение неразрывности потока жидкости в гидравлической форме очень часто применяется в гидравлике для описания движения жидкости в каналах и трубопроводах.

Гидростатика. Струйная модель потока. Уравнение неразрывности.

Гидродина́мика — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкостей и газа. Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения.

В гидравлике рассматривается струйная модель движения жидкости, т.е. поток представляется как совокупность элементарных струек жидкости, имеющих различные скорости течения uω. Индекс ω означает (напоминает), что в каждой точке живого сечения скорости различны. Элементарные струйки как бы скользят друг по другу. Они трутся между собой и вследствие этого их скорости различаются. Причём, в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются.

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрывно с т и, движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.

dv= dx*dy*dt – уравнение неразрывности.

Общее уравнение энергии в интегральной форме

— уравнение энергии в интегральной форме

Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа . – полную удельную энергию струйки в сечении 2-2. Можно записать, что

.

Из дифференциальных уравнений Эйлера можно получить уравнение энергии для невязкой жидкости в дифференциальной форме. Это уравнение имеет следующий вид:

,

где — потенциальная энергия жидкости во всем объеме W; — потенциальная энергия жидкости, рассчитанная на единицу массы в том же объеме, — кинетическая энергия; vn – проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности s.

Читайте также:  Как закрыться в одноклассниках

Из этого уравнения следует, что если во всех точках поверхности, ограничивающей объем потока W, гидродинамические давления одинаковы, то в таком объеме сумма потенциальной и кинетической энергии во времени не меняется.

Урав-е неразрывности для элементарного потока жидкости в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Из математики известно : ,

где – дивергенция ( расходимость) векторного поля в данной точке.

( Для справки. Определение. Предел отношения потока Пполя через некоторую замкнутую поверхностьSк объему, ограниченному поверхностьюS, когдаSстягивается в точкуМ, называется дивергенцией, или расходимостью, поля в точкеМ.)

Другая форма записи уравнения неразрывности …

Попытаемся найти геометрический смысл слагаемых вида .

Рассмотрим грань (ребро кубика). Скорость левого ее конца , а скорость правого конца . За время ребро не только переместится в пространстве, но и за счет разности скоростей его концов удлинится (деформируется) на величину . Скорость удлинения ребра составит , а относительная скорость деформации ребра можно найти, если поделить эту скорость на длину грани . Получим .

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме можно истолковать так: сумма скоростей относительной деформации ребер жидкой частицы равна нулю. Жидкость движется так, что данная масса все время занимает один и тот же объем.

рассчитывается по уравнению:

Сплошной (неразрывный) поток жидкости – поток, в котором отсутствуют пустоты, движение происходит с непрерывным распространением массы; масса жидкости, проходящая через любое сечение, согласно закону сохранения массы, есть величина постоянная.

Уравнение неразрывности (сплошности) потока в дифференциальной форме:

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости;

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для установившегося движения сжимаемой жидкости;

=

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для установившегося движения несжимаемой жидкости,

– изменение скоростей вдоль осей координат x,y,z.

Уравнение неразрывности потока в интегральной форме – уравнение постоянства расхода:

Скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений:

.

Гидравлический радиус– отношение площади S сечения потока к смоченному периметру П, характеризует каналы некруглого сечения:

Эквивалентный диаметр – геометрическая характеристика канала некруглого сечения, равен отношению учетверенной площади живого сечения, через которое протекает жидкость, к смоченному периметру:

Движение жидкости – перемещение жидкости по трубопроводам, аппаратам, каналам и т.д. Различают установившееся и неустановившееся, свободное и вынужденное, напорное и безнапорное движения. При установившемся движении поля давлений и скоростей не изменяются во времени, а при неустановившемся – изменяются. Свободное движение возникает за счет разности плотностей в различных точках объема жидкости. Вынужденное движение создается внешними силами, создаваемыми насосами, мешалками, центрифугами и др. При напорном течении жидкость заполняет все сечение трубопровода, при безнапорном – только часть сечения заполнена жидкостью, имеется свободная поверхность. Различают ламинарный и турбулентный режимы движения жидкостей.

Критерий Рейнольдса — единый безразмерный комплекс, по численному значению которого можно судить о режимах течения жидкости, является мерой соотношения между силами инерции и силами вязкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному осуществляется тем легче, чем больше массовая скорость жидкости ρw, чем больше диаметр трубы и чем меньше вязкость жидкости:

Ламинарный режим движения– все частицы жидкости перемещаются равномерно по параллельным траекториям. Наблюдается при значениях критерия Рейнольдса меньше критического Reкр (Re Reкр =2320) в прямых и гладких трубах постоянного сечения. В интервале значений 2320 2 /g2 напоров (высот) есть величина постоянная, равная суммарному (полному) гидродинамическому напору; данное уравнение выражает закон сохранения энергии – для движущейся среды любого сечения потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельной (отнесенной к 1Н жидкости) потенциальной

Читайте также:  Загрузочная флешка windows 10 live usb

энергий есть величина постоянная:

или для двух поперечных сечений потока

Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости Навье – Стокса – выражают связь между массовыми, поверхностными, инерционными и вязкостными силами в потоке, характеризуют закон сохранения энергии при движении вязкой жидкости:

где ∇ 2 wx, ∇ 2 wy ∇ 2 wz – операторы Лапласа, представляют собой суммы вторых производных по осям координат. Согласно второй теореме подобия решение уравнений Навье – Стокса можно представить в виде обобщенного критериального уравнения гидродинамики:

для установившегося движения реальной жидкости

где Eu – критерий Эйлера, определяемый критерий; Re, Fr, Ho — критерии Рейнольдса, Фруда, гомохронности, являются определяющими критериями; Г – симплекс геометрического подобия.

В виде степенной зависимости критериальное уравнение принимает вид:

где A, m, n, p, q – постоянные, определяемые опытным путем для группы подобных явлений.

Основные критерии гидродинамического подобия представлены в табл. 2.

1. Какие процессы называются тепловыми?

2. Дайте определение движущей силы тепловых процессов.

3. Сформулируйте определения температурного поля, изотермической поверхности и температурного градиента.

4. Какими способами осуществляется перенос тепла в теплообменных процессах?

5. Запишите закон теплопроводности Фурье. Сформулируйте физический смысл и укажите размерность коэффициента теплопроводности.

6. В каких единицах измеряется коэффициент температуропроводности?

7. Запишите уравнения теплопроводности плоской и цилиндрической стенок.

8. Сформулируйте законы теплового излучения.

9. Что называется процессом теплоотдачи? От каких факторов зависит коэффициент теплоотдачи, в каких единицах измеряется?

10. Назовите основные критерии теплового подобия и сформулируйте их физический смысл.

11. Каким образом определяется коэффициент теплоотдачи в случае пленочной конденсации?

12. Что такое теплопередача? Укажите физический смысл, размерность коэффициента теплопередачи.

13. Каким образом определяется средняя движущая сила процесса теплопередачи при различных взаимных направлениях теплоносителей?

14. Что является целью расчета теплообменного аппарата?

15. Дайте классификацию теплообменных аппаратов.

16. Назовите основные греющие агенты в зависимости от температуры нагреваемой среды.

17. Каким образом осуществляется умеренное и глубокое охлаждение?

18. Какие типы конденсаторов различают по способу охлаждения?

19. Что такое выпаривание?

20. Дайте классификацию выпарных установок.

21. Перечислите основные типы выпарных аппаратов.

22. Запишите тепловой и материальный балансы однокорпусного выпаривания.

23. Сформулируйте понятия первичного и вторичного паров.

24. Что такое температурные потери и полезная разность температур?

25. Каким образом рассчитывается температура кипения раствора?

При рассмотрении движения сжимаемой жидкости будем предполагать, что движущая жидкость сплошь заполняет все пространство, т.е. пустоты или разрывы не образуются. Это условие называется условием неразрывности или сплошности движения.

В таком случае, рассматривая протекание жидкости через некоторую фиксированную в пространстве замкнутую поверхность, можно заключить, что в случае несжимаемой жидкости количество вытекшей жидкости вследствие условия неразрывности должно в точности равняться количеству втекшей жидкости. Если же за некоторый промежуток времени количество вытекшей жидкости будет превышать количество втекшей, то внутри этой поверхности произойдет изменение плотности. Сказанное выше можно представить в виде дифференциального уравнения, носящего название уравнения неразрывности или сплошности движения.

Уравнение неразрывности в газовой динамике является выражением закона сохранения материи, установленного впервые великим русским ученым М.В.Ломоносовым в 1748 году.

Читайте также:  Где найти название материнской платы на компьютере

Рассмотрим фиксированную в пространстве замкнутую поверхность, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx dy dz, через который протекает сжимаемая жидкость.

Пусть в единицу времени и через единицу площади левой грани параллелепипеда в направлении оси Х протекает масса жидкости ux.

Рис.3.3.К выводу уравнения неразрывности.

Так как ux есть функция координат и времени, т.е. ux=f(x, y, z, t), то для определения массы жидкости, протекающей в направлении оси Х в единицу времени через единицу площади правой грани, надо координате Х в функции f(x, y, z, t) дать приращение dx, т.е. надо найти f(x+ dx, y, z, t). Но с точностью до малых первого порядка

f(x+ dx, y, z, t)= f(x, y, z, t)+,

т.е. через единицу площади правой грани в единицу времени протекает в направлении оси Х масса жидкости, равная

.

Очевидно, разность между вытекшим и втекшим количеством жидкости будет

,

и, следовательно за время dt через грани площадью dydz вытечет в направлении оси Х масса жидкости

.

Аналогично разности между вытекшим и втекшим количеством жидкости в направлении осей Y и Z за время dt можно получить в виде

Если эти выражения сложить, то получим суммарную разность между всей вытекшей и втекшей за время dt жидкостью:

Различие в количествах (массе) вытекшей и втекшей жидкости отразится на количестве жидкости внутри параллелепипеда. В самом деле, если в момент времени t плотность была , то в момент t+dt плотность будет равна

и, следовательно, за время dt количество (масса) жидкости внутри параллелепипеда изменится от величины до

(здесь берем знак минус, т.к.

раньше подсчитывалась разность

между вытекшим и втекшим коли-

В силу условия неразрывности разность между количествами вытекшей и втекшей жидкости должна быть равна изменению количества жидкости внутри параллелепипеда. Поэтому, приравнивая соответствущие выражения, получаем

(3.5)

Это уравнение носит название дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

Если движение сжимаемой жидкости установившееся, то, очевидно

и уравнение неразрывности примет вид

(3.6)

Уравнения неразрывности (3.5) и (3.6) часто записывают в несколько иной форме. Получим ее. Для этого выполним дифференцирование в уравнении(3.5)

Замечая, что первые четыре слагаемых представляют собой полную производную от по времени t, получим уравнение неразрывности в иной форме:

(3.7)

В частном случае, когда жидкость несжимаемая, т.е. =const уравнение неразрывности примет вид

или divU=0 (3.8)

Это уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.

Уравнение неразрывности часто используется в интегральной форме (уравнение расхода). Для его вывода рассмотрим элемент трубки тока, расположенный между произвольно проведенными контрольными сечениями.

Согласно закону сохранения массы при стационарном течении количество жидкости, втекающей внутрь рассматриваемого объема при отсутствии внутренних источников, должно равняться количеству жидкости, покидающей этот объем. Другими словами, расход массы жидкости через поверхность рассматриваемого объема должен быть равен нулю:

(3.9)

Рис. 3.4. Течение жидкости в трубке тока.

При установившемся движении можно записать

Здесь F – площадь всей поверхности рассматриваемого объема;

Un – скорость жидкости в каждой точке, нормальной к элементу поверхности dF.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9822 — | 7504 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Тест для определения цвета волос
Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Тест графики видеокарты 3dmark
Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
Adblock detector