Укажите тип дифференциального уравнения

Укажите тип дифференциального уравнения

Ø Прежде всего, нужно знать типы всех уравнений и признаки каждого из них на память.

Ø Затем усвоить алгоритм распознавания типа дифференциального уравнения, который состоит из проверки признаков типов дифференциальных уравнений.

Ниже приводится сводная таблица типов дифференциальных уравнений первого порядка и их признаков.

Тип Название диф. ур-я Общий вид Признаки Метод решения
I Уравнение с разделяющимися переменными или В правой части (функции ) стоит произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной Разделение переменных и интегрирование
II Однородное уравнение − однородная функция нулевого измерения; − однородные функции одного измерения
III 1. Линейное уравнение относительно 2. Линейное уравнение относительно Функция, ее производная входят в уравнение в первой степени (линейно)
IV 1. Уравнение Бернулли относительно 2. Уравнение Бернулли относительно Отличается от соответствующего линейного уравнения правой частью Делим
V Уравнение в полных дифференциалах

Как только данное уравнение совпадает по признакам (или общему виду) с одним из типов, его следует решать, воспользовавшись соответствующим этому типу методом.

Чтобы определить дифференциального уравнения, его лучше записать либо в виде

, либо − как проще.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

(2.1)

. (2.2)

Общим решением уравнения (2.1) называется функция

(2.3)

Эта функция зависит от переменной x и двух произвольных постоянных , обращает данное уравнение в верное равенство.

Общее решение уравнения (2.1), заданное в неявном виде

, (2.4)

называется общим интегралом.

Частное решение

, (2.5)

где − фиксированные числа, получаются из общего решения (2.3) при фиксированных значениях .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: .

Константы определяются из системы уравнений:

(2.6)

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

Понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (2.2) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такие преобразования уравнения (2.2) называются понижением порядка.

Уравнения вида

Уравнение не содержит .

Уравнение интегрируется подстановкой , которая дает возможность свести его к уравнению с разделяющимися переменными .

Уравнения вида

Уравнение не содержитy.

Положим, как и в предыдущем случае, , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно .

Уравнения вида

Уравнение не содержитx.

Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения , получаем уравнение первого порядка относительно z как функции : .

Ниже приводится сводная таблица трех типов дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, и их признаков.

Тип Вид уравнения Признаки Способ понижения порядка
А Нет явно Подстановка
Б или Явно нет y Подстановка
В или Явно нет x Подстановка
Читайте также:  Ключ продукта windows xp professional

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

1. Если функция от х умножена (или разделена) на функцию от у, и все это равно y’. то имеем ДУ с разделяющимися переменными.
примеры
y’=(x+1)siny
y’=(cos3x +x)/(2-y).

2. Если в ДУ первого порядка между y’ и у находится +, а справа в уравнении нет функции от у, но что-то, отличное от 0 записано, то ДУ линейное.
Примеры.
y’+y=x
y’-cosx *y=1
xy’-2y=x^2
.

Если в ДУ первого порядка слева y’, а справа функция f(x,y), являющаяся однородной нулевого измерения, то ДУ однородное.
Однородность "видно": степени переменных, стоящих в числителе, равны степени знаменателя.
Пример.
y’=(x^2+xy)/(y^2) — каждое слагаемое числителя и знаменатель во второй степени.
y’=sin(x/y)+y^2 / x^2 — у sin степени переменных одинаковые — первые, у дроби — вторые.

Это объяснение "на пальцах", лучше почитайте теорию в классическом исполнении.

Содержание

Уравнение с разделенными переменными [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]M(x)dx + N(y)dy = 0 :: (1)[/math] называется уравнением с разделенными переменными

Решение: [math](1) :: Leftrightarrow :: M(x)dx = -N(y)dy[/math] далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]M_<1>(x)N_<1>(y)dx + M_<2>(x)N_<2>(y)dy = 0 :: (2)[/math] называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на [math]N_<1>(y)M_<2>(x)
eq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

Однородные уравнения [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (3)[/math] , где M и N — однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением
Определение:
[math]f(x, y) — [/math] однородная функция измерения n [math]Leftrightarrow : f(lambda x, lambda y) = lambda^f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = dfrac[/math]

Определение:
[math]dfrac=fleft(dfrac
ight) -[/math] один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]dfrac= fleft(dfrac<1>x + b_<1>y + c_<1>><2>x + b_<2>y + c_<2>>
ight) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному
Утверждение:

1) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end
eq 0 Rightarrow left <eginx = u + alpha \ y = v + eta end
ight. [/math]

[math] (alpha, eta) : left <egina_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= 0\ a_<2>x + b_<2>y + c_ <2>= 0 end
ight.[/math]

Тогда получаем однородное уравнение.

2) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end = 0 Rightarrow [/math] пусть [math]a_ <1>x + b_ <1>y + c_ <1>= t [/math]

Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

[math] riangleright[/math]

Докажем 1), второй доказывается аналогично. Подставим замену:
[math]a_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= a_<1>(u + alpha) + b_<1>(v + eta) + c_ <1>= a_<1>alpha + b_<1>eta + c_ <1>+ a_<1>u + b_<1>v =[/math] [math]a_<1>u + b_<1>v = 0 [/math]

Получили однородное уравнение.

[math] riangleleft[/math]
Читайте также:  Приемник сигнала от пульта

Линейное уравнение первого порядка [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)(5)[/math] называется линейным уравнением [math]I[/math] порядка
Определение:
Если [math]q(x) = 0[/math] , то уравнение [math](5) [/math] называется однородным линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Способ решения методом Бернулли [ править ]

Пусть [math] y(x) = u(x) v(x)[/math] , тогда:

[math] u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) [/math]

[math] u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) — p(x) v(x)] = q(x) [/math] , назовем это уравнение [math](5a)[/math]

Пусть [math] v(x) [/math] таково, что:

[math] v'(x) — p(x) v(x) = 0 [/math]

[math]frac — p(x) v(x) = 0 [/math] . Домножим на [math] frac [/math] [math]frac — p(x) dx = 0 [/math] . Отсюда получаем:

[math]ln(v) = int p(x)dx + C[/math]

Пусть [math] C = 1[/math] . Тогда из [math](5a)[/math] получаем:

[math] u(x) = int q(x) e^ <int -p(x)dx>dx + C_ <1>[/math] . Тогда

Способ решения методом Лагранжа [ править ]

[math] frac = p(x) y [/math]

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H): [math] y_ = C e^<int p(x)dx>[/math] (из док-ва Бернулли)

[math] C(x) = int q(x) C(x) e^ <int p(x)dx>dx + C_ <1>[/math]

Уравнение в полных дифференциалах [ править ]

Определение:
Уравнение вида: [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (6)[/math] называется уравнением в полных дифференциалах, если [math](6) = du(x, y)[/math]

т.к. [math]du(x, y) = 0 Leftrightarrow u(x, y) = C : -[/math] общий интеграл.

Теорема:
Доказательство: [math] riangleright[/math] Рассмотрим первоначальное уравнение:
[math] M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 [/math]
Перепишем его в виде: [math] M(x,y)dx + N(x,y)dy equiv du(x,y) = dfrac<partial u><partial x>dx + dfrac<partial u><partial y>dy. [/math]
Тогда видим, что [math] dfrac<partial u> <partial x>= M, dfrac<partial u> <partial y>= N [/math]
Т.к. [math] M,N [/math] — непрерывные на [math] C [/math] , то давайте рассмотрим [math] dfrac<partial^2 u> <partial x partial y>= dfrac<partial M> <partial y>[/math] и [math] dfrac<partial^2 u> <partial y partial x>= dfrac<partial N> <partial x>[/math]
Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность.
Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию:
[math] a(x,y) = int_<0>>^M(q, y)dq + int_<0>>^N(x_<0>, z)dz [/math]
Найдем для нее частные производные по [math] x [/math] и [math] y [/math] :
[math] dfrac<partial a> <partial x>= M(x,y) [/math] , а дифференцируя по [math] y [/math] и учитывая условие [math] frac<partial M(x, y)> <partial y>equiv frac<partial N(x, y)> <partial x>[/math] , получаем :
[math] dfrac<partial a> <partial y>= int_
<0>>^frac<partial M(q, y)><partial y>dq + N(x_0, y) = N(x,y) — N(x_0,y) + N(x_0,y) = N(x,y) [/math] , достаточность доказана, т.к. [math] a(x,y) = u(x,y) [/math] — общий интеграл . [math] riangleleft[/math]
Читайте также:  Как закинуть фото в инстаграм с компа

Решение: [math]u(x, y) = int_<0>>^M(x, y)dx + int_<0>>^N(x_<0>, y)dy = C : — [/math] Общее решение.

Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах [ править ]

Утверждение:
[math] riangleright[/math]

[math]mu(x, y) = h(omega) = e^<intpsi(omega)domega>[/math]

[math] riangleleft[/math]

только как решать все равно не понятно.
Но.
Если [math]mu[/math] зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:
[math] mu(x) = e^<int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dx>[/math]
[math] mu(y) = e^<-int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dy>[/math]

Уравнение Бернулли [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)y^m, : m in mathbb setminus left < 0, 1
ight >:[/math] , называется уравнением Бернулли.

Решение:
[math]y^<-m>y’ = p(x)y^<1-m>+q(x), y
eq 0[/math]
[math](frac><1-m>)’ — p(x)y^<1-m>= q(x)[/math] , пусть [math]z(x) = y^ <1-m>: Rightarrow[/math]
[math]z'(x) — p(x)(1 — m)z(x) = (1 — m)q(x) : — [/math] линейное относительно z уравнение.

Уравнение Риккати [ править ]

Определение:
Уравнение вида [math]frac = p(x)y + q(x) + r(x)y^<2>:: (9)[/math] , где [math]p, q, r in C(a,b):[/math] называется уравнением Риккати

Решение:
Пусть [math]y_<1>(x): — [/math] частное решение уравнения (9), тогда [math]y(x) = z(x) + y_<1>[/math]
[math]z’ + y’_ <1>= p(z + y_<1>) + q + r(z + y_<1>)^<2>[/math]
[math]z’ = pz + rz^ <2>+ 2rzy_<1>: — [/math] уравнение (8)

Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной [ править ]

x явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]x = phi(y’):: (10)[/math]
Перейдем к параметрической системе:
[math] left <eginx = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = t dx = t phi'(t)[/math]
[math] left <egin
y = int tphi'(t)dt \x = phi(t) end
ight.[/math]

y явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]y = phi(y’):: (11)[/math]
Переходим к системе: [math] left <eginy = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dx = frac<phi'(t)dt>[/math]

уравнение Лагранжа [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]y = phi(y’)x + psi(y’):: (12)[/math] , называется уравнением Лагранжа

Решение:
Переходим к системе:
[math] left <eginy = phi(t)x + psi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = (phi'(t)x + psi'(t))dt + phi(t)dx = tdx[/math]
[math](phi'(t)x+ psi'(t))dt + (phi(t) — t)dx = 0[/math]
[math]Rightarrow : ]x = F(t, C), : phi(t) — t
eq 0[/math]
[math]left <egin
x = F(t, C) \y = phi(t)F(t, C) + psi(t) end
ight.[/math]

Уравнение Клеро [ править ]

Определение:
уравнение вида [math]y = xy’ + psi(y’):: (13)[/math] , называется уравнением Клеро

Решение:
Пусть [math]y’ = t : Rightarrow : dy = tdx = (x + psi'(t))dt + tdx : Rightarrow : (x + psi'(t))dt = 0 [/math]
Тогда либо [math]dt = 0 : (1)[/math] , либо [math]x + psi'(t) = 0 : (2)[/math]
[math](1):: t = C Rightarrow y = xC + psi(C)[/math] — общее решение.
[math](2):: left <eginx = -psi'(t)\y = -psi'(t)t + psi(t) end
ight.[/math]

Ссылка на основную публикацию
Тест для определения цвета волос
Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Тест графики видеокарты 3dmark
Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
Adblock detector