Тензор инерции твердого тела

Тензор инерции твердого тела

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Тензор инерции" в других словарях:

тензор инерции — Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно… … Справочник технического переводчика

ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ — см. в ст. Момент инерции. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

тензор инерции — inercijos tenzorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inertia tensor; inertial tensor vok. Trägheitstensor, m rus. тензор инерции, m pranc. tenseur d’inertie, m … Fizikos terminų žodynas

тензор инерции — Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы … Политехнический терминологический толковый словарь

ТЕНЗОР — в математике величина, обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат, причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенному закону. Тензорное исчисление, или абсолютное… … Энциклопедия Кольера

Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный») объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… … Википедия

Тензор — [tensor] математический термин, появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваиваивается особого рода… … Энциклопедический словарь по металлургии

Тензор — (от лат. tensus напряжённый, натянутый) математический термин, появившийся в середине 19 в. и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин «Т.» получил в современном тензорном исчислении (См.… … Большая советская энциклопедия

Эллипсоид инерции — Эллипсоид инерции геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует тензор инерции твёрдого тела относительно его центра масс. Содержание 1 Тензор инерции и эллипсоид инерции … Википедия

Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия

В общем случае, при вращении несимметричного тела даже с постоянной угловой скоростью (равномерное вращение вокруг неподвижной оси с =const) его вектор момента импульса будет меняться во времени. Покажем это на простейшем примере вала, на котором закреплены по краям две точечные массы m на расстоянии a от оси вращения, как показано на рис.15.1 (массой вала и элементов крепления пренебрегаем). В этом случае центр масс вала находится на оси вращения и, казалось бы, никаких дополнительных реакций в опорах быть не должно. Однако это не так, в опорах возникнут дополнительные реакции. Определим их исходя из самых общих рассуждений, основанных на законе сохранения момента импульса.

Вектор L1 будет направлен по оси вращения, вектор L2, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора r2 и p2, будет направлен под углом к оси вращения.

Суммарный момент импульса вращающегося тела также будет направлен под углом к оси вращения. Вектор момента импульса L будет вращаться при вращении вала. В момент времени, когда тела массы m находятся в плоскости рисунка, вектор dL будет перпендикулярен плоскости рисунка, также будет направлен и вектор момента сил, возникающих в опорах и действующих на вал. Эти силы F1и F2 будут направлены в данный момент времени так, как показано на рисунке. Появление момента сил интуитивно понятно, поскольку в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся валом, центробежные силы инерции, хотя и равные по величине и противоположные по направлению, приложены к разным точкам.

Определим связь между вектором угловой скорости и вектором момента импульса твердого тела в общем виде:

.

Для двойного векторного произведения используем тождество:

.

Тогда для момента импульса получим:

Это же самое выражение для вектора момента импульса тела мы получим, если представим его в виде произведения квадратной матрицы на вектор угловой скорости тела (матрица столбец):

Итак, мы определили связь момента импульса тела с вектором угловой скорости следующим образом:

(15.1)

Совокупность девяти приведенных выше коэффициентов — тензор инерции (тензор 2 ранга):

Происхождение термина тензор связано с теорией упругости, в которой впервые в физике для описания зависимости упругой деформации от приложенной к телу силы появилась потребность в подобных величинах. Tensio — в переводе с латинского — напряжение (упруго деформированного тела). Заметим, что тензор инерции симметричен: .

При работе с тензорами для краткой записи результатов пользуются соглашением о суммировании:

1) — если индекс, обозначенные греческой буквой, в произведении встречается дважды, то по нему производится суммирование, а сам он принимает значения x, y, z;

2) если индекс, обозначенный греческой буквой, встречается один раз, то он может относиться к x, y, z;

— эта краткая запись эквивалентна системе уравнений (15.1);

Читайте также:  Интересные новости форд фокус

3) под записью мы подразумеваем x, y, z; например,; если в произведении греческий индекс дважды не встречается, то под данным произведением понимают xy, xz, zy. Используя введенные обозначения, можем дать наиболее общее определение тензора инерции с помощью интеграла, получающегося из определенных выше сумм при предельном переходе:

, (15.2)

где — символ Кронекера. Интегрирование ведется по всему объему тела V.

В заключение сделаем несколько общих замечаний о тензорах. Мы определили тензор инерции в некоторой системе координат. При переходе к другой системе координат все компоненты тензора инерции меняются (например, меняется осевой момент инерции I xx, и т.д.). В тоже время знание всех компонент I ij в какой-либо системе координат позволяет определить их в любой другой системе координат, следовательно, совокупность всех 6 чисел (для симметричного тензора инерции, а в произвольном случае 9 чисел) I ij имеет смысл независимый от выбора системы координат. Соответствующим выбором системы координат можно преобразовать тензор инерции к диагональному виду:

.

Оси в этой системе координат называют главными осями, а само тело с точки зрения динамики вращательного движения может быть представлено в виде эллипсоида вращения (эллипсоид инерции).

Величиной, характеризующей тензор инерции и не зависящей от выбора системы координат, является след (от немецкого spur – след, иногда в литературе используется англоязычное сокращение Tr от trace — след) тензора инерции:

= inv.

Для примера использования тензора инерции решим задачу о вращении однородного параллелепипеда, плотность которого p, вокруг неподвижной оси, совпадающей с его диагональю. Найдем угол , который при таком вращении составляет вектор момента импульса с осью вращения. Вначале определим тензор инерции параллелепипеда в системе координат, оси которой проходят через его центр и перпендикулярны граням (рис.15.2). Эти оси – главные оси.

Ребро параллелепипеда вдоль оси x имеет длину a, вдоль оси y – b, вдоль оси z – c. Диагональ, вдоль которой направлен вектор угловой скорости, составляет с осью x угол , с осью y —, с осью z —. Вектор угловой скорости равен:

.

Компонента тензора I xx равна:

Компонента тензора Ixy оказывается равной нулю:

Аналогично определяем остальные компоненты тензора инерции. Он имеет диагональный вид:

.

След этого тензора инерции равен:

.

При условии a->0 и b->0 получим осевой момент инерции стержня, вращающегося вокруг оси перпендикулярной ему полученный ранее — mc^2/12.

Вектор момента импульса тела получим, умножая тензор инерции на вектор угловой скорости:

Искомый угол определим, вычислив скалярное произведение вектора момента импульса и вектора угловой скорости:

Если a=b=c (вращается куб), то =0 и момент импульса параллелен оси вращения проходящей через большую диагональ куба.

Пример преобразования тензора инерции при переходе из одной системы координат в другую рассмотрим, решая задачу по определению момента импульса вращающегося вала с закрепленным на нем тонким диском. Если диск на валу закреплен симметрично, то ось вращения совпадает с главной осью и момент импульса параллелен оси вращения. Если же при установке диска на вал его плоскость оказалась повернутой на угол относительно оси вращения, то вектор угловой скорости и вектор момента импульса оказываются неколлинеарными. Определим угол между ними.

Тензор инерции диска в системе координат (x,y,z) образованной главными осями (рис.15.3) определим, уже зная осевые моменты инерции:

.

Определим тензор инерции в системе координат (x’,y’,z’) , повернутой на угол вокруг оси x.

После поворота новый базис определяется следующим образом:

.

Тензор — тензор преобразования системы координат, он связывает новый базис (i’,y’,z’) с исходным базисом (i,j,k).

Тензор инерции в новой системе координат равен:

,

где T+ — транспонированная матрица (матрица в которой строки меняем со столбцами) преобразования системы координат:

.

Проведя перемножение матриц, получим момент инерции I’ :

.

Пусть диск вращается вокруг неподвижной оси z’ с угловой скоростью , тогда момент импульса для вращающегося тела в положении, показанном на рис.15.3 будет равен: .

Тангенс угла, который момент импульса будет составлять с осью вращения, будет равен:

.

Сделаем оценку момента силы , действующей на вал с диском. Для диска массы 1 кг радиусом 1 м, закрепленным с поворотом на =0.50, который вращается с частотой 20000 об/мин (максимальная частота вращения вала двигателя для машины формулы 1), получим момент силы 10^4н·м. Если расстояние между подшипниками 1 м, то на подшипники будет действовать сила 10^4 н.

Читайте также:  Сколько октав берет кипелов

Поскольку во многих современных машинах частота вращения достигает десятков и сотен тысяч оборотов в минуту (ультрацентрифуги, турбомолекулярные насосы и т.д.), единственный способ ликвидировать нежелательные реакции в подшипниках – обеспечить коллинеарность векторов момента импульса и угловой скорости.

В заключение отметим, говоря о тензорах, что все величины, с которыми мы сталкивались в физике, можно считать тензорами (различных рангов).

Скаляр — тензор нулевого ранга, задается (3^0=1) одним числом.

Вектор — тензор первого ранга, задается (3^1=3) тремя числами.

Тензор второго ранга, задается (3^2=9) девятью числами. Особое место среди тензоров второго ранга занимает тензор преобразования базиса при переходе из одной системы отсчета в другую. Перечислим физические величины, которые являются тензорами второго ранга: уже упоминавшийся момент инерции твердого тела, удельная проводимость анизотропной среды, коэффициент теплопроводности анизотропной среды, коэффициент поляризуемости анизотропного диэлектрика, напряжение в деформированной среде и т.д.

Тензор третьего ранга, задается (3^3=27) двадцатью семью числами. Пример такого тензора — тензор пьезоэлектрических модулей неоднородной среды.

Тензор четвертого ранга — тензор модулей упругости анизотропной среды. Для пояснения скажем, что анизотропной средой является такая среда, в которой какое-либо свойство ее оказывается зависящим от направления.

Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью:

L → = J ω → <displaystyle <vec >=J<vec <omega >>>

где J <displaystyle J> — тензор инерции, ω → <displaystyle <vec <omega >>> — угловая скорость, L → <displaystyle <vec >> — момент импульса

E k i n r o t = 1 2 ω → T ⋅ J ⋅ ω → <displaystyle E_=<1 over 2> <vec <omega >>^<,T>cdot Jcdot <vec <omega >>> E k i n = E k i n r o t + p 2 2 m <displaystyle E_=E_+ <2>over 2m>> ,

в компонентах это выглядит так:

L i = ∑ j J i j ω j <displaystyle L_=sum _J_omega _> E k i n r o t = 1 2 ∑ i j ω i J i j ω j <displaystyle E_=<1 over 2>sum _omega _J_omega _>

Используя определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k):

L → = ∑ k = 1 N [ r → k × ( m k v → k ) ] <displaystyle <vec >=sum _^[ <vec >_ imes ( m_ <vec >_ ) ]>

и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость:

v → = [ ω → × r → ] <displaystyle <vec >=[ <vec <omega >> imes <vec > ]>

и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции:

J i j = ∑ k ( m k ( δ i j r k 2 − r i k r j k ) ) ) <displaystyle J_=sum _( m_ (delta _r_^<2>-r_>r_>) ))>

или в непрерывном виде:

J i j = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) d m = ∫ ( δ i j r 2 − r i r j ) ρ d V <displaystyle J_=int (delta _r^<2>-r_r_ )dm=int (delta _r^<2>-r_r_ )
ho dV> ,

где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а ri — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.

Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).

Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть Jij=Jji.

В непрерывном виде формулу можно вывести следующим образом:

L → = ∫ ( m ) [ r → × ( v → d m ) ] = ρ ∫ ( V ) [ r → × [ ω → × r → ] ] d V <displaystyle <vec >=int limits _<(m)>[ <vec > imes ( <vec >dm ) ]=
ho int limits _<(V)>[ <vec
> imes [ <vec <omega >> imes <vec > ] ]dV>

L → = ρ ∫ ( V ) [ ω → ⋅ r 2 − r → ( ω → , r → ) ] d V <displaystyle <vec >=
ho int limits _<(V)>[ <vec <omega >>cdot r^<2>-<vec >(<vec <omega >>, <vec >) ]dV>

Запишем разложение векторов v → <displaystyle <vec >> и r → <displaystyle <vec >> в ортонормированном базисе:

r → = x i → + y j → + z k → <displaystyle <vec >=x<vec >+y<vec >+z<vec >> ω → = ω x i → + ω y j → + ω z k → <displaystyle <vec <omega >>=omega _<vec >+omega _<vec >+omega _<vec >>

По свойствам скалярного произведения,

( ω → , r → ) = x ω x + y ω y + z ω z <displaystyle (<vec <omega >>, <vec >)=xomega _+yomega _+zomega _>

Читайте также:  Не удалось запустить игру ошибка инициализации 0x039e8474

С учетом того, что r 2 = x 2 + y 2 + z 2 <displaystyle r^<2>=x^<2>+y^<2>+z^<2>> можем записать проекции вектора момента импульса на оси:

L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( x 2 + y 2 + z 2 ) − x ( x ω x + y ω y + z ω z ) ) d V <displaystyle L_=
ho int limits _<(V)>left(omega _
(x^<2>+y^<2>+z^<2>)-x(xomega _+yomega _+zomega _)
ight)dV>

Или, приведя подобные слагаемые

L x = ρ ∫ ( V ) ( ω x ( y 2 + z 2 ) − ω y x y − ω z x z ) d V <displaystyle L_=
ho int limits _<(V)>left(omega _
(y^<2>+z^<2>)-omega _xy-omega _xz
ight)dV>

L y = ρ ∫ ( V ) ( ω y ( x 2 + z 2 ) − ω x y x − ω z y z ) d V <displaystyle L_=
ho int limits _<(V)>left(omega _
(x^<2>+z^<2>)-omega _yx-omega _yz
ight)dV> L z = ρ ∫ ( V ) ( ω z ( x 2 + y 2 ) − ω x z x − ω y z y ) d V <displaystyle L_
=
ho int limits _<(V)>left(omega _
(x^<2>+y^<2>)-omega _
zx-omega _
zy
ight)dV>

J x x = ρ ∫ ( V ) ( y 2 + z 2 ) d V <displaystyle J_=
ho int limits _<(V)>(y^<2>+z^<2>)dV> J y y = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + z 2 ) d V <displaystyle J_=
ho int limits _<(V)>(x^<2>+z^<2>)dV> J z z = ρ ∫ ( V ) ( x 2 + y 2 ) d V <displaystyle J_=
ho int limits _<(V)>(x^<2>+y^<2>)dV> J x y = J y x = − ρ ∫ ( V ) x y d V <displaystyle J_=J_=-
ho int limits _<(V)>xydV> J x z = J z x = − ρ ∫ ( V ) x z d V <displaystyle J_=J_=-
ho int limits _<(V)>xzdV> J y z = J z y = − ρ ∫ ( V ) y z d V <displaystyle J_=J_=-
ho int limits _<(V)>yzdV>

Из них можно составить тензор инерции в матричном виде:

J = | J x x J x y J x z J y x J y y J y z J z x J z y J z z | <displaystyle J=<eginJ_&J_&J_\J_&J_&J_\J_&J_&J_\end>>

Легко проверить, что согласно нашим обозначениям, верна тензорная связь:

< L x = J x x ω x + J x y ω y + J x z ω z L y = J y x ω x + J y y ω y + J y z ω z L z = J z x ω x + J z y ω y + J z z ω z <displaystyle left<<eginL_=J_omega _+J_omega _+J_omega _\L_=J_omega _+J_omega _+J_omega _\L_=J_omega _+J_omega _+J_omega _\end>
ight.>

Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела [1] .

Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:

J x x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m = ∫ r y z 2 d m <displaystyle J_=int (y^<2>+z^<2>)dm=int r_^<2>dm> , J y y = ∫ ( x 2 + z 2 ) d m = ∫ r x z 2 d m <displaystyle J_=int (x^<2>+z^<2>)dm=int r_^<2>dm> , J z z = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m = ∫ r x y 2 d m <displaystyle J_=int (x^<2>+y^<2>)dm=int r_^<2>dm> ,

(внимание: x, y и z в этих формулах подразумевают именно главные оси, если мы хотим совпадения с главными моментами).

  • Все формулы этой статьи предполагали использование ортонормированного базиса, поэтому используются только нижние тензорные индексы, так как в этом случае между верхними и нижними индексами нет разницы.
  • Тензор инерции можно считать обобщением понятия момента инерции относительно оси; связь этих величин — см. в статье Момент инерции (там собственные числа тензора инерции обозначены как J X , J Y , J Z <displaystyle J_,J_,J_>). При чтении статьи по ссылке следует иметь в виду некоторое различие обозначений, так, в той статье J x y , J y z , J z x <displaystyle J_,J_,J_>обозначены не соответствующие компоненты тензора инерции, а центробежные моменты инерции, которые совпадают по модулю с соответствующими компонентами тензора, но имеют противоположный знак.

Другие применения термина [ править | править код ]

Иногда термин тензор инерции применяется к математически аналогичным конструкциям, не имеющим прямого механического смысла, например, если ρ в формулах — не плотность массы, а плотность других величин, например, плотность статистического распределения; да и пространство, в котором происходит расчет может быть в принципе любым, хотя при этом наиболее осмыслен случай одинаковой природы всех осей (то есть одинаковых единиц измерения по ним). Это применение термина представляет собой прямую геометрическую аналогию, так же, как применение таких терминов, как центр масс или центр тяжести в подобном контексте.

В случае применения термина тензор инерции к плотностям распределений, особенно если он считается относительно «центра тяжести», речь идет по сути о матрице ковариации, причем задача нахождения её собственных векторов и собственных чисел также может обсуждаться в терминах «главных осей» и «главных моментов», что соответствует не только аналогии с моментом инерции, но и вполне строгой терминологии вторых моментов многомерного распределения (многомерной случайной величины) в статистике (и суть, и терминология здесь могут быть очень близки). При этом, в двумерном случае тензор инерции и матрица ковариации в собственных осях полностью совпадают — с точностью до перестановки осей, а в случаях большей размерности речь идет не о совпадающих, а только о близко связанных формально и по смыслу матрицах, диагонализующихся при этом в одном и том же базисе (имеющих одни и те же собственные оси).

Ссылка на основную публикацию
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Adblock detector