Тело совершает крутильные колебания по закону

Тело совершает крутильные колебания по закону

Важным случаем упругих колебаний являются так называемые крутильные колебания, при которых тело переворачивается туда и обратно около оси, проходящей через его центр тяжести.

Если, например, подвесить на проволоке диск (рис. 18), повернуть его так, чтобы проволока закрутилась, и затем отпустить, то диск начнет раскручиваться, закрутится в обратную сторону и т. д., т. е. будет совершать крутильные колебания. При этом также дважды за период имеет место переход кинетической энергии движущегося диска в потенциальную энергию (энергию деформации) закручивающейся проволоки и обратно. Крутильные колебания нередко имеют место в валах двигателей, в частности в гребных валах теплоходных машин, и при известных условиях, о которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными (§ 15).

Рис. 18. Крутильные колебания диска, подвешенного на проволоке

В ручных и карманных часах нельзя использовать подвесной маятник; в них применяется так называемый балансир (рис. 19) — колесико, к оси которого прикреплена спиральная пружина («волосок»). Балансир периодически поворачивается туда и обратно, причем при этих крутильных колебаниях пружинка изгибается (раскручивается и закручивается) в обе стороны от своего равновесного состояния. Таким образом, балансир представляет собой крутильный маятник.

Рис. 19. Часовой балансир

Для периода крутильных колебаний сохраняют силу те же закономерности, что и для периода любых упругих колебаний: период тем больше, чем меньше жесткость системы и чем больше ее масса (при неизменной форме).

При крутильных колебаниях существенна не только масса тела, но и ее распределение относительно оси вращения. Если, например, мы подвесим на проволоке гантель, состоящую из спицы, на которую симметрично насажены два одинаковых груза и (рис. 20), то при раздвигании грузов частота крутильных колебаний будет уменьшаться. Хотя масса гантели остается прежней. Оставляя грузы и на прежних местах, но беря их более массивными, мы увидим, что частота тоже делается меньше.

Рис. 20. Крутильные колебания гантели

Крутильные колебания при больших углах закручивания (малых угловых амплитудах) также являются гармоническими. Период их определяется соотношением

,

где — жесткость системы. Численно жесткость равна вращающему моменту, дающему поворот на радиан. Если упругие силы обусловлены закручиванием нити или проволоки, то — это так называемая крутильная жесткость этих тел. Величина характеризует распределение массы относительно оси вращения (так называемый момент инерции, играющий во вращательном движения такую же роль, какую играет масса в поступательном движении). Например, для гантели где — масса каждого груза, а — расстояние от грузов до оси вращения.

© 2020 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

2018-05-31
Тело совершает крутильные колебания по закону $phi = phi_ <0>e^ < — eta t>cos omega t$. Найти:
а) угловую скорость $dot< phi>$ и угловое ускорение $ddot< phi>$ тела в момент $t = 0$;
б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.

Читайте также:  Наушники tronsmart encore s6

Учитывая $phi = phi_ <0>e^ < — eta t>cos omega t$

Имеем $dot < phi>= — eta phi — omega phi_ <0>e^ < — eta t>sin omega t$
$ddot < phi>= — eta dot < phi>+ eta omega phi_ <0>e^ < — eta t>sin omega t — omega^ <2>phi_ <0>e^ < — eta t>cos omega t = eta^ <2>phi + 2 eta omega phi_ <0>e^ < — eta t>sin omega t — omega^ <2>phi$

(a) $( dot < phi>)_ <0>= — eta phi_<0>, ( ddot < phi>)_ <0>= ( eta^ <2>- omega^ <2>) phi_<0>$
(б) $dot = — phi_ <0>e^ < — eta t>( eta cos omega t + omega sin omega t)$ становится максимальным (или минимальным), когда

$ddot < phi>= phi_ <0>( eta^ <2>- omega^ <2>) e^ < — eta t>cos omega t + 2 eta omega phi_ <0>e^ < — eta t>sin omega t = 0$
или $tg omega t = frac < omega^<2>- eta^ <2>><2 eta omega>$

Таким образом $t_ = frac<1> < omega>left ( tg^ <-1>frac < omega^<2>- eta^ <2>> <2 eta omega>+ n pi
ight ), n = 0,1,2, cdots$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

Методические указания к лабораторной работе №14 по физике

Составители: А.А.Андрющенко, Н.Г.Последова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ

Метод. указания. — Ростов н/Д:

Издательский центр ДГТУ, 2009. — 11 с.

Указания содержат описание рабочей установки и методики определения момента инерции тел методом крутильных колебаний.

Методические указания предназначены для студентов инженерных специальностей всех форм обучения в лабораторном практикуме по физике (раздел «Механика и молекулярная физика»).

Печатается по решению методической комиссии факультета «Нанотехнологии и композиционные материалы»

Научный редактор проф., д.т.н. В.С.Кунаков

© Издательский центр ДГТУ, 2009

I. Цель работы: определение момента инерции тела методом крутильных

II. Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, секундомер, штангенциркуль, измерительная линейка.

III. Теоретическая часть.

При изучении вращательного, либо колебательного движений твердого тела используют понятие момента инерции. Моментом инерции твердого тела (либо системы тел) относительно некоторой оси называется физическая величина, равная сумме произведения масс материальных точек системы на квадрат их расстояний до оси вращения:

,

где n – число материальных точек, составляющих тело, либо систему тел.

В случае непрерывного распределения масс момент инерции может быть определен интегралом: ,

где r – функция положения точки массой dm.

Момент инерции зависит от массы тела и формы распределения массы относительно оси вращения.

Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое движение относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения от положе­ния равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

Читайте также:  Помогите вспомнить фильм по описанию

, (1)

где j – угловое смещение, j – максимальное угловое смещение,

– циклическая частота, Т – период колебаний.

Угловое ускорение колебаний определяется как вторая производная от углового смещения по времени:

(2)

С учетом (1) равенство (2) можно переписать в виде:

(3)

Если твердое тело совершает крутильные колебания, то к нему может быть применен основной закон динамики вращательного движения:

(4)

где M – вращающий момент (момент возвращающей силы) относитель-но оси ОО1 (Рис1), I – момент инерции тела относительно той же оси.

Знак « – » указывает на то, что возвращающий момент всегда направлен к положению равновесия. Закрученная нить создаёт противодействующий момент силы упругости Мупр., который при малых углах закручивания j по закону Гука пропорционален этому углу:

(5)

где N – направляющий момент, зависящий только от материала нити, её длины и сечения и является величиной постоянной для данного лабораторного прибора.

Возвращающий момент M и момент силы упругости Мупр. равны между собой и приравнивая правые части уравнений (4) и (5), получим:

(6)

При помещении на испытуемое тело (см. рис.1) двух одинаковых грузов цилиндрической формы массой m каждый, момент инерции системы, состоящей из испытуемого тела и грузов, будет равен:

(7)

где I – момент инерции двух грузов относительно оси ОО1.

Согласно теореме Штейнера момент инерции двух цилиндров относительно оси ОО1 равен:

(8)

где а – расстояние от оси вращения ОО1 до оси цилиндров,

r – радиус цилиндра.

Момент инерции испытуемого тела и двух цилиндров будет равен:

(9)

В соответствии с равенством (6) для нагруженного тела также выполняется условие

(10)

Приравнивая правые части уравнений (6) и (10), получаем:

откуда находим момент инерции испытуемого тела

(11)

Учитывая, что и , получаем:

(12)

где Т – период колебаний испытуемого тела без грузов,

Т1 – период колебаний испытуемого тела с грузами.

IV. Описание экспериментальной установки.

На рис.1 показана принципиальная схема лабораторного прибора для определения момента инерции тела методом крутильных колебаний.

Исследуемое телоВ, выполненное в виде стержня прямоугольного сечении, подвешено на упругой металлической нити ОО1, жестко закрепленной в точках О и О1 .Точка О является центром масс стержня. При повороте стержня на небольшой угол j относительно оси ОО1, перпендикулярной к плоскости стержня и проходящей через его центр, он начинает совершать крутильные колебания в горизонтальной плоскости, период которых будет зависеть от момента инерции системы и направляющего момента.

V. Порядок выполнения работы.

1. Заставить исследуемое тело совершать крутильные колебания с малой амплитудой (10 ¸ 15 градусов). Секундомером измерить время t совершения n полных колебаний (n – задаётся преподавателем).

Читайте также:  Как запустить терминал на мак ос

2. Определить период колебаний испытуемого тела без грузов

Т = t /n.

3. Установить два груза на одинаковом расстоянии аот оси ОО1 и

аналогично пункту 1 определить период колебаний испытуемого тела с грузами

Т1 = t 1/n.

4. Все измерения (пункты 1 – 2) провести несколько раз (число измерений задает преподаватель). Все значения занести в таблицу 1.

5. Штангенциркулем измерить радиус грузов, а линейкой – расстояние «а» между осями (см. рис.1). Массу грузов m (приведена в паспорте установки), радиус грузов и расстояние азанести в таблицу 3.

6. Произвести статистическую обработку результатов измерений

времени t и t1 (для примера см. таблицы 1 и 2).

7. По формуле (12) определить момент инерции испытуемого тела.

8. По формуле (6) определить направляющий момент

9. Вычислить относительные и абсолютные погрешности по формулам (13) – (14) и занести результаты в таблицу 3.

Абсолютная погрешность периода колебаний определяется следующим образом

аналогично

, (13)

. (14)

№/№ п/п ti D ti Dti 2 Sn t(a,n) D tсл D tпр D t T DT
с c с 2 С с c c c c
N
Среднее
№/№ п/п t1i D t1i Dt1i 2 Sn t(a,n) D t 1cл D tпр D t1 T1 DT1
с c с 2 с с c c c с
N
Среднее
m a r I N
Среднее значение … кг … м … м … кг×м 2
Абсолютная погрешность … кг … м … м … кг×м 2
Относительная погрешность … % … % … % … % … %
Доверительный интервал … кг×м 2

IV. Контрольные вопросы.

1. Запишите основной закон динамики вращательного движения.

2. Каков физический смысл момента инерции?

3. Чему равен момент инерции материальной точки и твердого тела?

4. Запишите моменты инерции тел простейшей формы относительно оси, проходящей через центр инерции.

5. Запишите наименование и размерность момента инерции.

6. Дайте формулировку теоремы Штейнера и поясните её рисунком.

7. Дайте определение гармонических крутильных колебаний, запишите его уравнение и поясните физический смысл входящих в него величин.

8. Исходя из уравнения гармонических колебаний, определите угловое ускорение. Как определяется направление углового ускорения?

9. Дайте определение периода, частоты, циклической частоты

колебаний и покажите, как они связаны между собой.

10. Дайте формулировку закона Гука и поясните смысл входящих в него параметров.

11. Укажите условия выполнения закона Гука.

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики (т.1). М.: Наука, СПб.: Лань, 2006.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высш. шк., 2004.

3. Справочное руководство по физике. Ч.1. Механика, молекулярная физика, электричество, магнетизм: Учеб.-метод. пособие.-Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2008.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11369 — | 7611 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Adblock detector