Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны

Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны

Длины сторон треугольника (короче, стороны треугольника) не могут быть заданы произвольно. Действительно, для произвольного треугольника сумма двух любых сторон больше третьей стороны: АВ так как ломаная длиннее отрезка прямой. Из этого же неравенства находим т. е. разность двух любых сторон треугольника меньше его третьей стороны. Например, из отрезков нельзя построить треугольник, так как Если же даны три отрезка а, b, с такие, что больший из них меньше суммы двух других, то можно построить треугольник, имеющий данные отрезки своими сторонами задача 1). Итак, условие

(где с — наибольший из трех отрезков) необходимо и достаточно для существования треугольника со сторонами а, b, с.

В зависимости от сравнительной величины сторон треугольники могут быть равносторонними, если все стороны равны, равнобедренными, если две стороны равны, и разносторонними, если все стороны различны. У равнобедренного треугольника его равные стороны обычно называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.

Углы треугольника также не могут быть заданы произвольно, так как справедлива

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника равна двум прямым.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 215) и проведем через одну из его вершин, например В, прямую BD, параллельную противоположной стороне АС. Теперь из чертежа ясно, что (накрест лежащие углы), и так как то что и требовалось доказать.

Продолжая сторону АС, находим как следствие:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных.

Тем самым, внешний угол треугольника больше каждого из его внутренних углов, с ним не смежных:

Таким образом, зная два угла треугольника, мы можем найти и третий. Ясно также, что если один угол в треугольнике прямой или тупой, то два других его угла острые.

Если один угол треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным; если один угол прямой, то прямоугольным; если все три угла острые, то остроугольным.

Из задач на построение треугольников (п. 189) видно, что при любых данных положительных углах , составляющих в сумме два прямых, существуют треугольники, имеющие своими внутренними углами. Итак, условие

необходимо и достаточно для существования треугольника с углами .

Так как внешний угол треугольника дополняет внутренний смежный с ним угол до развернутого угла, то сумма внешних углов треугольника (рис. 216) равна двум развернутым, или четырем прямым, углам: .

Пример. Внешний угол а равен 120°, угол составляет половину угла у. Найти углы треугольника.

Решение. Внутренний угол . Так как , то

Связь между величинами сторон и углов треугольника устанавливает следующая

Теорема 2. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Против равных сторон лежат равные углы.

Читайте также:  Что значит xdrive у bmw

Обратно: против большего угла лежит большая сторона. Против равных углов лежат равные стороны.

Доказательство. Применим свойства наклонных. Пусть в треугольнике ABC (рис. 217, а) сторона АС больше стороны ВС. Проведем высоту СМ треугольника. Так как наклонная СВ меньше наклонной С А, то ее основание В лежит ближе к основанию высоты СМ, чем основание А наклонной С А. Поэтому, если перегнуть рис. 217, а по СМ, то угол при вершине В перейдет во внешний угол В треугольника АСВ и, следовательно, будет больше угла А, как внутреннего, с ним не смежного. Рис. 217, а построен для случая, когда против данных сторон лежат острые углы. На рис. 217, б показан случай, когда против одной из сторон лежит тупой угол (разобрать самостоятельно).

Итак, если между сторонами треугольника имеются неравенства то соответственно и противолежащие углы удовлетворяют неравенствам Равенство углов, лежащих против равных сторон, сразу получится, если учесть, что равные наклонные расположены относительно перпендикуляра (т. е. высоты треугольника) симметрично и совмещаются при сгибе плоскости по перпендикуляру. При этом совмещаются и углы, равенство которых должно быть доказано.

Обратное утверждение, говорящее, что против большего угла лежит большая сторона, получается рассуждением от противного. Так, пусть . Если бы мы имели то должно было бы быть , что противоречит условию. Поэтому , что и требовалось доказать. Так же доказывается, что против равных углов расположены равные стороны. В частности, равносторонний треугольник является и равноугольным. Каждый из его трех углов в этом случае равен 60°.

Задача

Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.

Дано: a , b , c – стороны предполагаемого треугольника.

Требуется сравнить длину каждого отрезка-стороны с суммой двух других. Если хотя бы в одном случае отрезок окажется больше суммы двух других, то треугольника с такими сторонами не существует.

Решение

Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.

Программа 1 (предпочтительный способ решения):

В языке Паскаль логический оператор and имеет приоритет над операторам >, if проверяется, что каждая из сторон меньше суммы других. Если хотя бы одна будет больше, то все логическое выражение вернет ложь ( false ). В таком случае сработает ветка else .

В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.

Читайте также:  Новые рабочие плейлисты iptv каналов m3u 2018

Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы, срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.


Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( C, рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC ( рис.23 ) — равнобедренный , если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний , если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( abc ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний

угол BCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним : BCD = A + B .

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a bc; b b > ac; c c > ab ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

Читайте также:  Обозначение дней недели на часах

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O , рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O , рис.27 ) снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD , BE , CF , рис.28 ) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD , BE , CF , рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

и окончательно имеем:

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:

где C – угол между сторонами a и b .

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Ссылка на основную публикацию
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Adblock detector