Способ извлечения квадратного корня из многозначного числа

Способ извлечения квадратного корня из многозначного числа

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

“ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ”

Тема: «Различные способы извлечения квадратного и кубического корня

из многозначных чисел»

Выполнила: ученица 8«А» класса

МАОУ Новоильинский агротехнический лицей

Заиграевского района Республики Бурятия

Научный руководитель: учитель математики

МАОУ Новоильинский агротехнический лицей

Зубарева Надежда Игоревна

г. Обнинск, 2011/2012 учебный год

1. Введение 3 стр

2. Различные способы извлечения квадратного и кубического корня из многозначных чисел:

а) Алгоритмы вычисления квадратного и кубического корня из многозначных чисел

б) Алгоритмы быстрого извлечения квадратного и кубического корня. 10 стр

в) Приближенные методы вычисления квадратных корней (метод Ньютона и т.д) 12 стр

3. Заключение 14 стр

4. Список литературы 15 стр

В этом году я и мои одноклассники изучали тему квадратные корни.

Все было замечательно, пока под рукой была таблица квадратов, но однажды корень из шестизначного числа нам нужно было вычислить на уроке геометрии. Те, у кого были телефоны и калькуляторы, воспользовались ими, телефон я забыла дома, и пришлось разбивать число на простые множители. Корень был извлечен, но вопрос есть ли другие алгоритмы для извлечения квадратного, а в дальнейшем и кубического корня, остался.

С этим вопросом я обратилась к своей учительнице математики, она ответила, что такие алгоритмы есть, и посоветовала мне самой исследовать этот вопрос и познакомить с результатами работы своих одноклассников.

Я заинтересовалась и решила изучить этот вопрос глубже, чем он освещен в школьной программе, а также приготовить выступление для своих одноклассников. Цель работы: Исследовать различные способы вычисления арифметических корней.

Были намечены следующие задачи :

Проанализировать математическую литературу по данной теме, использовать также интернет-ресурсы.

Составить алгоритмы по вычислению квадратного и кубического корня в случаях его вычисления «нацело».

Определить особенности вычисления арифметического корня, когда он не вычисляется «нацело»;составить алгоритмы вычисления квадратного и кубического корня, когда он не вычисляется «нацело».

Привести примеры быстрого извлечения квадратного и кубического корней.

Рассмотреть приближенные методы извлечения квадратного корня (метод Ньютона, способ которым пользовались в древнем Вавилоне)

Оформить свое исследование в виде доклада.

Актуальность работы обусловлена, прежде всего, тем, что извлечение арифметических корней часто встречается в заданиях школьного курса математики, при подготовке к экзаменам, в практических вычислениях в быту. В работе представлены простые алгоритмы извлечения арифметических корней, которыми может овладеть каждый.

Различные способы извлечения квадратного и кубического корня из многозначных чисел

Извлечение квадратного корня из целого числа «нацело»

Пример: найдём √212521

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево

Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе

Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы

К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр

К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4

К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6

Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте

√5963364=&, т.е. & 2 =59633

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево

Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе

Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы

К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр

К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4

К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6

К удвоенному числу, состоящему из первых трех цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 8

Найденная цифра записывается в ответе на четвертом месте

Извлечение квадратного корня из целого числа (корень не извлекается «нацело»)

Пример: найдём √123456

Установить точность извлечения 1/10 m

Определить количество знаков в ответе после запятой

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево

Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули

12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00

Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей

(3 группы, так как m=3)

Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага

√12 ” 34 ” 56 ” 00 ” 00 ” 00=351,363

Извлечение квадратного корня из десятичной дроби

Пример: найдём √104,2441

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой

Цифры, входящие в целую часть числа разбить справа налево, а цифры, входящие в дробную часть – слева направо

1’ 04’, 24’ 41’ 00’ 00

Если число группы в дробной части больше m, отбросить лишнее; если меньше m — составить недостающие группы из нулей

Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага

Я решила попробовать доказать этот способ.

Читайте также:  Как удалить гугл аккаунт на хонор

Основой этого способа, является состав числа

a n a n-1 ….a 2 a 1 a 0 = a n 10 n + a n-1 10 n-1 +…+a 2 10 2 + a 1 10 1 + a 0

Доказательство приведено мной для случаев:

1. Извлечение квадратного корня из трехзначного числа;

2. Извлечение квадратного корня из четырехзначного числа.

abc=100a+10b+c mn = 10m+n

100a-100m 2 +10b+c-20mn-n 2

т.к корень извлекается, то остаток равен 0

100a-100m 2 +10b+c-20mn-n 2 =0

Для удобства разбиваем на части т.е.

100a+10b+c=100m 2 +20mn+n 2

числоabc это квадрат числа mn

Докажем возможность извлечения квадратного корня из четырехзначного числа

(10a+b-m 2 )100+10c+d

1000a+100b-100m 2 +10c+d-20mn-n 2 =0

1000a+100b+10c+d=100m 2 +20mn+n 2

abcd=(10m+n) 2 это квадрат числа mn

Извлечение квадратного корня из обыкновенной дроби

Установить точность извлечения

Обратить обыкновенную дробь в десятичную

Число десятичных знаков поле запятой определяется заявленной точностью, удвоив её

Извлечь приближенный корень из десятиной дроби, полученной на шаге 2(использовать алгоритм 1)

Рассмотренные алгоритмы позволяют находить значения квадратного корня из любых чисел с любой точностью. В том числе находить и т.н. «малые корни».

Например: найдём √3

√3 = 3,00000000 ≈ 1,7320

Точность вычисления можно увеличить, использую следующее утверждение: если после вычисления n значащих цифр (общее количество цифр до и после запятой) корня остаток от вычисления разделить на удвоенное найденное значение корня, то частное даёт n-1 следующих цифр корня.

В качестве примера увеличим точность извлечения квадратного корня из числа 3. Для этого остаток 176 разделим на удвоенное значение раннее найденного значения корня (1,732*2=3,464). Получим следующие 2 цифры: 50, то есть √3 = 1,732050

Извлечение кубического корня из целого числа «нацело»

Пример: найдём 3 √74088

Разбить число на группы по 3 цифры справа налево

В первой группе могут оказаться три цифры, две или одна

Извлечь кубический корень из числа первой группы

В числе, найденном на шаге 3 отделить 2 цифры справа

Оставшееся на шаге 4 число разделить на утроенный квадрат найденного числа корня

Найти второй остаток

Найденный остаток сверяется с , где a=4, b=2. Если они равны, то найденное число верно

Методика быстрого извлечения квадратного корня

Многие из нас знают метод извлечения квадратного корня разложением числа на простые множители. В нашей работе представлен ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ настолько прост, что пользоваться им может ребенок, обладающий простыми навыками вычисления.

Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Пример: найдём √529

Метод быстрого извлечения кубического корня

Для успешного овладения этой методикой необходимо запомнить несколько ключевых цифр

Обратим внимание на то, что цифры 1,4,5,6,9 в своём кубе оканчиваются на эту же цифру. В остальных же случая последняя цифра куба равна разности между 10 и числом возводимым в куб.

Извлекать кубический корень научимся на практических примерах

Пример: найдём 3 √46656

Найти число, куб которого наиболее близкий, но меньше числа, полученного на шаге 1

Воспользоваться таблицей 1

Извлечь кубический корень из числа, полученного на шаге 2

Найденная цифра записывается в ответе на первом месте

Рассмотреть оставшиеся цифры

Найти число куб которого заканчивается такой же цифрой как число полученное на шаге 4

Воспользоваться таблицей 1

Найти кубический корень из числа, полученного на шаге 5

Воспользоваться таблицей 1. Найденная цифра записывается в ответе на втором месте

Пример: найдём 3 √274625

Отметить последнюю цифру числа. Определить последнюю цифру ответа

Воспользоваться таблицей 1. Найденную цифру записать на последнем месте

Зачеркнуть последние 3 цифры числа. Рассмотреть оставшееся число

Зачеркиваются три цифры числа независимо от количества его цифр

Найти число, куб которого наиболее близок, но не превосходит числа, полученного на шаге 2

Воспользоваться таблицей 1

Найти кубический корень числа, полученного на шаге 2

Воспользоваться таблицей 1. Найденная цифра записывается в ответе на первом месте

Заметим, что рассмотренные способы почти одинаковы. Предпочтение можно отдать любому из них.

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора) [2].

1.Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 л. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 — первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а 2 числа найдется по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а 1 =5; а 2 = 5,3; а 3 =5,2915.

— итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а n — n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного и кубического корней, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.

Читайте также:  Acpi 808622c1 что это за устройство

1.В.А. Гусев, А.Т. Мордкович «Математика: справочные материалы»; Книга для учащихся – 2-е издание. –М: Просвещение,1990

2.И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

3. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал ";Квант"; №2, 1980

4. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.

5. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979

6. Фурсенко В.Б. «Об алгоритме извлечения квадратного корня». «Математика и физика в школе». 1936. № 5.

А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1.

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.

Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем 2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).

Подозреваем делимость на 7. Действительно, а ,

Итак, Полный порядок!

Поэтому

Случай 2.

Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…

На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…

На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…

На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

,

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,

P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?

Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

МКУ «Закаменское районное управление образования»

МБОУ «Холтосонская СОШ»

Школьная научно-практическая конференция

Способы извлечения квадратного корня из многозначных чисел.

Автор: Попова Алена, 6 класс

МБОУ «Холтосонская СОШ», 6класс

Домашний адрес: РБ, Закаменский район,

село Холтосон, ул. Комсомольская, дом 41

Контактный телефон: 8-924-352-8322

Руководитель: Харакшинова Ирина Вячеславовна

Год выполнения: 2016

Методы извлечение квадратного корня………………………………………………6

2.1. Разложение подкоренного выражения на простые множители………………………6

2.2. Извлечение квадратного корня уголком………………………………………………6

2.3. Методика быстрого извлечения квадратного корня………………………………….7

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения? Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет — настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

В этом году я случайно услышала, «излечение квадратного корня». Мне стало интересно, что же такое квадратный корень и как его извлечь? Если ли алгоритмы для извлечения квадратного корня?

С этим вопросом я обратилась к своей учительнице математики, она ответила, что такие алгоритмы есть, и посоветовала мне самой исследовать этот вопрос. Я заинтересовалась и решила изучить этот вопрос глубже, чем он освещен в школьной программе.

В работе представлены простые алгоритмы извлечения квадратного корня, которыми может овладеть каждый.

Читайте также:  Блютуз адаптер что это такое

Цель работы: Исследовать различные способы вычисления квадратных корней.

Проанализировать математическую литературу по данной теме, использовать также интернет-ресурсы.

Составить алгоритмы по вычислению квадратного корня в случаях его вычисления «нацело».

Привести примеры быстрого извлечения квадратного корня.

Глава 1.История квадратного корня.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметических действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого а известна, с давних пор встречалась обратная задача: «Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?»

Применяемый знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики 15-16 в.в., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистами «косстистами». Неизвестные числа с 17 века стали обозначать последними буквами латинского алфавита x , y , z . Однако долго ещё неизвестное в уравнении писали буквой R (от « Radix » — « корень»), а квадрат его – буквой q (« quadratus »). Это объяснение не является общепринятым. В самых старых рукописях перед числом, из которого нужно извлечь корень, ставилась точка, а позднее точка или узкий ромбик с черточкой, направленной вправо и вверх. Так образовался знак .

Зная время , можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Решение: Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение:

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а.

Это число обозначают . Таким образом

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

В записи знак называют знаком радикала (от латинского "радикс" — корень), а число а — подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями: .

Во время работы над данным исследованием мною была обнаружена интересная информация. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День квадратного корня -праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями

из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81).

Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, Калифорния, США. По состоянию на 2010год Гордон продолжает

публиковать заметки о придуманном им празднике, активно контактируя поэтому поводу со СМИ.

Главным блюдом на этом «праздничном столе» обычно являются вареные

кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня

По объективным математическим причинам этот праздник может

отмечаться строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и

дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года

2 февраля хх04 года

3 марта хх09 года

4 апреля хх16 года

5 мая хх25 года

6 июня хх36 года

7 июля хх49 года

8 августа хх64 года

9 сентября хх81 года

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между

праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5,

Глава II . Методы извлечения квадратного корня

Первый способ — таблица квадратов, телефоны и калькуляторы, можно воспользовались ими, но если их нет под рукой.

2.1. Разложение подкоренного выражения на множители.

Второй способ –разложение подкоренного выражения на множители. Например, найдем .Число 6561 делится на 3. Разложим 6561 на множители: 6561=3 · 3•3•3•81 = 81• 81, 81

2.2. Извлечение квадратного корня уголком.

Третий способ. Извлечение квадратного корня уголком.
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9 2 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Для поверки мы возвысили в квадрат 63 и к результату приложили 113; так как в сумме получилось данное число 4082, то действие сделано верно.

2.3. Методика быстрого извлечения квадратного корня

Ссылка на основную публикацию
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Сервер не поддерживает символы не ascii
Многие из нас пользуются замечательным FTP сервером FileZilla Server. Думаю, не я один столкнулся с проблемой некорректного отображения русских букв...
Сервера для обновления nod32 бесплатно
Отличие полной версии от триальной Полные (не триальные) антивирусные базы и программные компоненты Eset Antivirus и Eset Smart Security! Отличия...
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Adblock detector