Составить уравнение прямой проходящей через фокус параболы

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

4.Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

5.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

6. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Тема №2-4. Кривые 2 порядка: окружность, эллипс,гипербола,парабола.

Построение кривых 2 порядка. Составление уравнений кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка задана уравнением Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) — уравнение эллипса.

2) — уравнение “мнимого” эллипса.

3) — уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y 2 = 2px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – уравнение окружности.

Рассмотрим кривые 2 порядка: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х , у ) имеет вид:

( х – х ) 2 + ( у – у ) 2 = R 2 .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х 2 + у 2 = R 2 :

k 2 / ( 1 + m 2 ) = R 2 .

Эллипс

Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 + b 2 .

Гипербола

Гиперболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F₁F₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболев данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 – b 2 .

Парабола

Параболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы( рис.1 ) :

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболев данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и параболы y 2 = 2 p x :

1.Найдите все параметры, характеризующие данные кривые второго порядка. Определите типы этих кривых, сделайте рисунки.
а) 9x² + 64y²=576
б) y²=6x

в) 9x 2 -16y 2 =144

Решение.

a) 9x²+ 64y² = 576 — уравнение эллипса

— каноническое уравнение эллипса
a = = 8 и b = = 3 — полуоси эллипса

Точки А(8,0), А'(-8,0), В(0,3), В'(0,-3) — вершины эллипса

с =

Точки F( ,0) и F'(- ,0) — фокусы эллипса

ε = с/а =( )/8 — эксцентриситет эллипса

б) y² = 6x — уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox,

т.е. прямая у = 0 — ось симметрии.
2р = 6
р = 3
Точка F(3/2,0) — фокус параболы.
Прямая х = -3/2 — директриса параболы

в) Приведем данное уравнение к каноническому виду (разделив его на 144):

Отсюда следует, что a 2 =16, b 2 =9. Следовательно, a=4 -действительная полуось, b=3 — мнимая полуось. Тогда Значит, фокусы имеют координаты F₁(-5,0), F₂(5,0). Находим эксцентриситет
Уравнения асимптот имеют вид у = , а уравнения директрис .

2. Определить вид и расположение кривой

Решение.

Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

Следовательно, кривая, заданная исходным уравнением, представляет собой эллипс с полуосями

Центр эллипса находится в точке щ .

3. Найти координаты центра и радиус окружности x 2 +y 2 -6x+10y-15=0.

Решение.

В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

Элементы параболы
0F — фокальная ось
0 — вершина
— фокус
ε=1 — эксцентриситет
— фокальный радиус
— директриса
p — фокальный параметр

Каноническое уравнение параболы (ось Ox совпадает с фокальной осью, начало координат – с вершиной параболы): y 2 =2px
При p x 2 =2py
При p>0 ветви параболы направлены вверх, при p 2 /2+(y-1) 2 /2=1, необходимо набрать в поле x^2/2+(y-1)^2/2=1 и нажать кнопку График параболы .

Самостоятельно построить график можно, используя операцию выделения полного квадрата.

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс, и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

чина ε. При 0 1 — гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы. Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директрисой параболы. При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы. Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные — каноническими.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы.

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = — p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

которое называют каноническим уравнением параболы.

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае — эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = — 1 — уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство. Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.