Смешанные задачи для уравнения математической физики

2.1. Классификация уравнений и постановка задач математической физики

Большинство физических процессов различной природы моделируется дифференциальными уравнениями в частных производных. Наиболее часто при этом встречаются линейные уравнения второго порядка. Их изучение и составляет предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между искомой функцией нескольких переменных, её частными производными и независимыми переменными.

Для двух независимых переменных x и y дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем случае имеет вид

Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех её производных. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид

. (2.1)

Коэффициенты линейного уравнения могут зависеть от переменных x, y. Тогда говорят, что уравнение (2.1) является уравнением с переменными коэффициентами. Если f(x, y) = 0, то уравнение (2.1) называется линейным однородным. В противном случае оно будет линейным неоднородным.

Все многообразие уравнений математической физики может быть разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами решений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, называемое каноническим.

Принадлежность уравнения тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных.

Если в некоторой области плоскости xy дискриминант уравнения (2.1) , то говорят, что уравнение (2.1) будет в этой области уравнениемгиперболического типа.

Если в некоторой области плоскости xy дискриминант то в этой области уравнение относится кпараболическому типу. Наконец, если в некоторой области то уравнение в этой области будет уравнениемэллиптического типа.

Основными уравнениями математической физики являются:

1). Волновое уравнение

Это однородное уравнение гиперболического типа. Оно описывает процессы поперечных колебаний струн, продольные колебания стержней, крутильные колебания валов, колебания тока и напряжения в проводах и другие динамические процессы (здесь и далее x – пространственная координата, t – время).

2). Уравнение теплопроводности

Это однородное уравнение параболического типа. Оно описывает процессы распространения тепла в стержнях, задачи фильтрации жидкостей и газов в пористых средах и др.

3). Уравнение Лапласа

Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени (x и y – пространственные координаты) и описывает стационарные процессы в электрических и магнитных полях, задачи стационарной теплопроводности, многие стационарные задачи гидродинамики, диффузии, прочности и др.

Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые позволяют однозначно описать конкретный физический процесс. Количество и вид этих условий зависят от характера и порядка производных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела (или процесса в выделенном теле) с окружающей средой.

В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия.

Начальные условия описывают состояние системы в начальный момент времени. Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины отклонений и скоростей точек тела (струны, стержня и др.) в начальный момент времени. Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку производной по времени (если искомая функция в уравнении теплопроводности u(x, t) – температура в произвольном сечении стержня в любой момент времени t, то начальным условием задается распределение температуры по длине стержня в начальный момент времени t = 0).

Граничные условия для волнового уравнения (если оно описывает, например, поперечные колебания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и зависят от характера их закрепления.

Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия имеют существенно различный вид в зависимости от характера теплообмена концов стержня с окружающей средой.

Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения параболического типа, также различают разные краевые задачи в зависимости от условий на контуре рассматриваемой области.

Так, если на границе Г области задано значение искомой функции:

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена первая краевая задача (задача Дирихле).

Если на границе области задано значение производной искомой функции по направлению нормали к границе:

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена вторая краевая задача (задача Неймана).

Если на границе области задано условие, связывающее искомую функцию и её производную

то поставлена третья или смешанная краевая задача. Здесь u, u₁, u₂, – непрерывные функции, определённые на границе.

Итак, постановка задачи математической физики включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.

Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.

Ниже рассмотрены примеры решения основных уравнений математической физики различного типа, аналогичных тем, которые встречаются в расчётно-графической работе. Решение задач строится методом Фурье (методом разделения переменных). Этот метод является одним из наиболее общих методов математической физики, пригодным для решения уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов в различных областях.

Уравнения математической физики для чайников

Задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений по предмету "Уравнения математической физики" (подраздел курса "Дифференциальные уравнения в частных производных" с физическими приложениями) для студентов. Разобраны типовые примеры для самых распространенных уравнений (уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности, волновое), методов (разделения переменных, Фурье, Даламбера) и задач (Штурма-Лиувилля, Пфаффа и т.д.).

Задачи с решениями по уравнениям математической физики онлайн

Задача 1. Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду. $$ u_+4u_+u_+u_x+u_y-x^2y=0. $$

Задача 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения.

Задача 3. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

Задача 4. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в кольце.

Задача 5. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Лапласа в кольцевом секторе.

Задача 6. Решить уравнение Лапласа в прямоугольнике:

Задача 7. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Задача 8. Решить задачу Коши для волнового уравнения:

Задача 9. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

Задача 10. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для круга:

Задача 11. Решить уравнение методом Лагранжа-Шарпи.

Задача 12. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Заказать работу по уравнениям в частных производных? Легко!

Нужно выполнить контрольную работу или задания из практикума по УМФ или ДУвЧП? Нет проблем — примем заказ от очников и заочников любых ВУЗов! Стоимость консультации по решению уравнения математической физики — от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Читать Online

Представлен необходимый теоретический материал для самостоятельной проработки основных понятий "Метода разделения переменных для решения одномерных смешанных задач гиперболического и параболического типов", приведены примеры решения типовых задач и варианты типового домашнего задания.

Издание предназначено для методического обеспечения направления подготовки "Математика и компьютерные науки" в МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также может быть использовано студентами других направлений и специальностей, изучающих курс "Уравнения математической физики".

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Постановка смешанных задач для пространственно одномерных уравнений
2. Метод Фурье для однородного гиперболического уравнения
3. Задача Штурма — Лиувилля и ее решение в частном случае
4. Метод Фурье для однородного параболического уравнения
5. Неоднородные уравнения
6. Сведение неоднородных граничных условий к однородным
7. Решение телеграфного уравнения
8. Варианты домашнего задания
9. Пример выполнения домашнего задания

Факультеты / кафедры МГТУ им. Н.Э. Баумана

Факультет "Машиностроительные технологии"

Металлорежущие станки (МТ-1)
Инструментальная техника и технологии (МТ-2)
Технология машиностроения (МТ-3)
Метрология и взаимозаменяемость (МТ-4)
Литейные технологии (МТ-5)
Технологии обработки давлением (МТ-6)
Технологии сварки и диагностики (МТ-7)
Материаловедение (МТ-8)
Оборудование и технологии прокатки (МТ-10)
Электронные технологии в машиностроении (МТ-11)
Лазерные технологии в машиностроении (МТ-12)
Технологии обработки материалов (МТ-13)

Факультет "Информатика и системы управления"

Системы автоматического управления (ИУ-1)

Приборы и системы ориентации, стабилизации, навигации (ИУ-2)

Информационные системы и телекоммуникации (ИУ-3)

Проектирование и технология производства электронной аппаратуры (ИУ-4)

Системы обработки информации и управления (ИУ-5)

Компьютерные системы и сети (ИУ-6)

Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии (ИУ7)

Информационная безопасность (ИУ-8)

Теоретическая информатика и компьютерные технологии (ИУ9)

Защита информации (ИУ-10)

Факультет "Энергетическое машиностроение"

Ракетные двигатели (Э-1)

Поршневые двигатели (Э-2)

Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки (Э-3)

Холодильная, криогенная техника, системы кондиционирования и жизнеобеспечения (Э-4)

Вакуумная и компрессорная техника (Э-5)

Теплофизика (Э-6)

Ядерные реакторы и установки (Э-7)

Плазменные энергетические установки (Э-8)

Экология и промышленная безопасность (Э-9)

Гидромеханика, гидромашины и гидропневмоавтоматика (Э-10)

Факультет "Фундаментальные науки"

Высшая математика (ФН-1)

Прикладная математика (ФН-2)

Теоретическая механика (ФН-3)

Физика (ФН-4)

Химия (ФН-5)

Электротехника и промышленная электроника (ФН-7)

Вычислительная математика и математическая физика (ФН-11)

Математическое моделирование (ФН-12)

Факультет "Лингвистика"

Русский язык (Л-1)

Английский язык для приборостроительных специальностей (Л-2)

Английский язык для машиностроительных специальностей (Л-3)

Романо-германские языки (Л-4)

Факультет "Робототехника и комплексная автоматизация"

Инженерная графика (РК-1)

Теория машин и механизмов (РК-2)

Основы конструирования машин (РК-3)

Подъёмно-транспортные системы (РК-4)

Прикладная механика (РК-5)

Системы автоматизированного проектирования (РК-6)

Компьютерные системы автоматизации производства (РК-9)

Факультет "Радиоэлектроника и лазерная техника"

Радиоэлектронные системы и устройства (РЛ-1)

Лазерные и оптико-электронные системы (PЛ-2)

Элементы приборных устройств (РЛ-5)

Технологии приборостроения (РЛ-6)

Факультет "Биомедицинская техника"

Биотехнические технические системы (БМТ-1)

Медико-технические информационные технологии (БМТ-2)

Медико-технический менеджмент (БМТ-4)

Факультет "Специальное машиностроение"

Космические аппараты и ракеты-носители (СМ-1)

Аэрокосмические системы (СМ-2)

Динамика и управление полетом ракет и космических аппаратов (СМ-3)

Высокоточные летательные аппараты (СМ-4)

Автономные информационные и управляющие системы (СМ-5)

Ракетные и импульсные системы (СМ-6)

Робототехнические системы и мехатроника (СМ-7)

Стартовые ракетные комплексы (СМ-8)

Многоцелевые гусеничные машины и мобильные роботы (СМ-9)

Колесные машины (СМ-10)

Подводные аппараты и роботы (СМ-11)

Технологии ракетно-космического машиностроения (СМ-12)

Ракетно-космические композиционные конструкции (CМ-13)

Факультет "Инженерный бизнес и менеджмент"

Экономика и бизнес (ИБМ-1)

Экономика и организация производства (ИБМ-2)

Промышленная логистика (ИБМ-3)

Менеджмент (ИБМ-4)

Финансы (ИБМ-5)

Предпринимательство и внешнеэкономическая деятельность (ИБМ-6)

Инновационное предпринимательство (ИБМ-7)

Факультет "Социальные и гуманитарные науки"

История (СГН-1)

Социология и культурология (СГН-2)

Информационная аналитика и политические технологии (СГН-3)

Философия (СГН-4)

Юриспруденция, интеллектуальная собственность и судебная экспертиза

Военный институт

Факультет военного обучения

Физкультурно-оздоровительный факультет

Физическое воспитание (ФОФ-1)

Здоровьесберегающие технологии и адаптивная физкультура (ФОФ-2)

Мытищинский филиал

Космический факультет

Факультет лесного хозяйства, лесопромышленных технологий и садово-паркового строительства (ЛТ)

Лесные культуры, селекция и дендрология (ЛТ-1)

Кафедра искусственного лесовыращивания и механизации лесохозяйственных работ — реорганизована в ЛТ1

Ландшафтная архитектура и садово-парковое строительство (ЛТ-6)

Транспортно-технологические средства и оборудование лесного комплекса (ЛТ-7)

Древесиноведение и технологии деревообработки (ЛТ-8)

Химия и химические технологии в лесном комплексе (ЛТ-9)

Автоматизация технологических процессов, оборудование и безопасность производства (ЛТ-10)

Области знаний

Инженерные науки

Аэродинамика

Инженерная графика

Основы конструирования и детали машин

Прикладная механика

Прикладная теплофизика

Теоретическая механика

Теория механизмов и механика машин

Информационные технологии

Вычислительные системы и сети

Аппаратные средства

Основы информатики

Программные средства

Архитектура программных средств

Геоинформационные системы

Разработка программного обеспечения

Системы проектирования, моделирования и сопровождения

Системы расчета и анализа

Системы хранения и обработки информации

Теория информации

Технологии обеспечения безопасности и защита информации

Управление в технических системах

Лесное хозяйство

Биологические и технологические аспекты

Ландшафтная архитектура

Лесоинженерное дело и переработка древесины

Лингвистика

Английский язык

Испанский язык

Немецкий язык

Русский язык

Французский язык

Машиностроение

Автоматизация и управление производством

Вакуумные и компрессорные машины и установки

Гидро- и пневмооборудование

Двигателестроение

Газотурбинные энергоустановки

Поршневые двигатели

Криогенная техника

Летательные аппараты

Конструкции и проектирование

Машины и технологии литейного производства

Машины и технология обработки металлов давлением

Метрология, измерения и стандартизация

Нанотехнологии

Науки о материалах

Плазменные технологии

Подъёмно-транспортные системы

Ракетные и импульсные системы

Боеприпасы и взрыватели

Стрелково-пушечное, артиллерийское и ракетное оружие

Ракетно-космическая техника

Баллистика

Навигация и управление

Проектирование

Ракетные двигатели

Ракеты и ракетно-космические системы

Стартовые и технические комплексы

Энергетические установки

Робототехнические системы

Сварочное оборудование и технологии

Технология и оборудование обработки материалов

Транспортные средства

Экология и промышленная безопасность

Электроника

Электротехника

Ядерные энергетические установки

Медицина

Оздоровительная гимнастика

Общественные науки

История

Культурология

Педагогика

Политология

Социология

Философия

Юриспруденция

Приборостроение

Системы автоматического управления

Системы навигации и стабилизации

Системы управления технологическим оборудованием

Теория автоматического управления

Электроника и микроэлектроника

Радиоэлектроника и оптика

Конструирование приборов

Лазерная техника и лазерные технологии

Оптотехника

Радиоэлектронные системы

Фундаментальные науки

Математика

Аналитическая геометрия

Дискретная математика

Линейная алгебра

Линейное программирование

Математическая логика

Математическая физика

Математический анализ

Математическое моделирование

Теория вероятностей

Теория функций комплексного переменного

Теория чисел

Топология

Функциональный анализ

Численные методы

Физика

Химия

Экономические науки

Управление предприятиями

Контроллинг

Управление наукоемким производством

Экономика и финансы

Коды специальностей

16.00.00 Физико-технические науки и технологии

16.04.02 Высокотехнологические плазменные и энергетические установки

27.00.00 Управление в технических системах

27.03.04 Управление в технических системах

27.03.05 Инноватика

27.04.06 Организация и управление наукоемкими производствами

27.04.08 Управление интеллектуальной собственностью

38.00.00 Экономика и управление

38.04.02 Менеджмент

010000 Физико-математические науки

010400 Информационные технологии

030000 Гуманитарные науки

030500 Юриспруденция

030501 Юриспруденция

030502 Судебная экспертиза

140000 Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника

140300 Ядерные физика и технологии

140305 Ядерные реакторы и энергетические установки

140400 Техническая физика

140401 Техника и физика низких температур

140402 Теплофизика

140403 Техническая физика термоядерных реакторов и плазменных установок

140404 Атомные электрические станции и установки

140500 Энергомашиностроение

140505 Плазменные энергетические установки

150000 Металлургия, машиностроение и материалообработка

150200 Машиностроительные технологии и оборудование

150202 Оборудование и технология сварочного производства

150206 Машины и технология высокоэффективных процессов обработки материалов

150400 Технологические машины и оборудование

150401 Проектирование технических и технологических комплексов

150500 Материаловедение, технология материалов и покрытий

150501 Материаловедение в машиностроении

150800 Гидравлическая, вакуумная и компрессорная техника

150802 Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика

151000 Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств

151001 Технология машиностроения

151002 Металлообрабатывающие станки и комплексы

151003 Инструментальные системы машиностроительных производств

160000 Авиационная и ракетно-космическая техника

160400 Системы управления движением и навигация

160402 Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации

160403 Системы управления летательными аппаратами

160800 Ракетостроение и космонавтика

160801 Ракетостроение

160802 Космические летательные аппараты и разгонные блоки

160803 Стартовые и технические комплексы ракет и космических аппаратов

170000 Оружие и системы вооружения

170100 Оружие и системы вооружения

170102 Стрелково-пушечное, артиллерийское и ракетное оружие

170103 Средства поражения и боеприпасы

170105 Взрыватели и системы управления средствами поражения

190000 Транспортные средства

190100 Наземные транспортные системы

190200 Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы

190201 Автомобиле- и тракторостроение

190202 Многоцелевые гусеничные и колесные машины

200000 Приборостроение и оптотехника

200200 Оптотехника

200201 Лазерная техника и лазерные технологии

200203 Оптико-электронные приборы и системы

200400 Биомедицинская техника

200401 Биотехнические и медицинские аппараты и системы

210000 Электронная техника, радиотехника и связь

210200 Проектирование и технология электронных средств

210201 Проектирование и технология радиоэлектронных средств

210202 Проектирование и технология электронно-вычислительных средств

220000 Автоматика и управление

220200 Автоматизация и управление

220203 Автономные информационные и управляющие системы

220400 Управление в технических системах

220600 Инноватика

220601 Управление инновациями

220700 Организация и управление наукоемкими производствами

220701 Менеджмент высоких технологий

230000 Информатика и вычислительная техника

230100 Информатика и вычислительная техника

230101 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети

280000 Безопасность жизнедеятельности, природообустройство и защита окружающей среды

280100 Безопасность жизнедеятельности

280101 Безопасность жизнедеятельности в техносфере

280200 Защита окружающей среды

280201 Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов

280700 Техносферная безопасность

Научно-популярные издания

История МГТУ им. Н.Э. Баумана

История развития науки и техники

Персоналии

Материалы конференций

Факультет "Машиностроительные технологии"