Сложение и вычитание восьмеричной системы счисления

Сложение и вычитание восьмеричной системы счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление . Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом . Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы .

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета .

Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе
Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Ответ: 15+6 = 21 10 = 10101 2 = 25 8 = 15 16 .

Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

0101 2 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16+4+1=21,

25 8 = 2·8 1 + 5·8 0 = 16 + 5 = 21,

15 16 = 1·16 1 + 5·16 0 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Ответ: 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 .

11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25,

31 8 = 3·8 1 + 1·8 0 = 24 + 1 = 25,

19 16 = 1·16 1 + 9·16 0 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3·8 2 + 1·8 1 + 1·8 0 + 2·8 -1 = 201,25

C9,4 16 = 12·16 1 + 9·16 0 + 4·16 -1 = 201,25

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25 10 — 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2·8 2 + 1·8 1 + 5·8 0 + 4·8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8·16 1 + D·16 0 + 8·16 -1 = 141,5.

Читайте также:  Mass effect текстуры высокого разрешения

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5·6 = 30 10 = 11110 2 = 36 8 .

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;

36 8 = 3·8 1 + 6·8 0 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115·51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8 .

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;

13351 8 = 1·8 4 + 3·8 3 + 3·8 2 + 5·8 1 + 1·8 0 = 5865.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Ответ: 5865 : 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6·8 1 + 3·8 0 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Ответ: 35 : 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

Ваша задача будет решена с вашими исходными данными OnLine и бесплатно

Задача:

Выполнить сложение чисел A = 79210 и B = 37810 в восьмеричной системе счисления.
Решение:

1) Переведем числа в восьмеричную систему счисления:
79210 = 14308
37810 = 5728

Читайте также:  Аппараты для лечения суставов отзывы

2) Запишем числа "A" и "B" столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

Разр. 4 3 2 1
A 1 4 3
B 5 7 2

3) Сложим поразрядно числа "A" и "B" записывая результат в "C" начиная с младших разрядов. Правила поразрядного сложения, для восьмеричной системы счисления представлены в таблице ниже.

"В"
1 2 3 4 5 6 7
"A" 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 1 0
2 2 3 4 5 6 7 1 0 1 1
3 3 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2
4 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3
5 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
6 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
7 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

Здесь номер строки (синий цвет) соответствует значению разряда операнда "А", а столбца соответственно "B". На пересечении соответствующей строки и столбца, серым цветом, указывается значение соответствующего разряда результата "C". При некоторых комбинациях значений "А" и "B" возникает единица переноса в следующий (более старший разряд), что в таблице указывается красным цветом.

В качестве примера, желтым цветом, показано вычисление для чисел 4 и 4, результат — и дополнительно перенос в старший разряд.

Если при вычислении значения некоторого разряда "C" в него имеется перенос с предыдущего разряда, то его значение необходимо увеличить на единицу воспользовавшись этой же таблицей.

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:
(красным шрифтом показаны переносы в соответствующий разряд)

Разр. c 4 3 2 1
1 1
A 1 4 3
B 5 7 2
C 2 2 2 2

Ответ: 14308 + 5728 = 22228

Содержание урока:

12.1. — 12.2. Сложение и вычитание чисел в системе счисления с основанием q
12.3. Умножение чисел в системе счисления с основанием q

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления.

12.1. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления.

Читайте также:  Лучшие игры для видеокарты 128 мб

Таблица 3.2

Сложение в троичной системе счисления

Таблица 3.3

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица 3.4

Сложение в восьмеричной системе счисления

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел А и Б, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

• если ai + bi < q, то si = ai + bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
• если ai + bi ≥ q, то si = аi + bi — q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1.

Примеры:

12.2. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел А и В, надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:

• если ai ≥ bi , то ri = ai — bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
• если ai < bi , то ri = ai — bi + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Примеры:

Cкачать материалы урока

Ссылка на основную публикацию
Сервер не поддерживает символы не ascii
Многие из нас пользуются замечательным FTP сервером FileZilla Server. Думаю, не я один столкнулся с проблемой некорректного отображения русских букв...
Ресивер пионер vsx 528
5.1 канальный AV ресивер Pioneer VSX-528 с 6x HDMI, AirPlay, DLNA, MHL, сквозным сигналом Ultra HD 4K и Интернет-радио vTuner....
Ресивер для нтв плюс какой лучше
Телекомпания НТВ‑ПЛЮС гарантирует получение качественных услуг, а также обеспечение корректного доступа к каналам и дополнительным сервисам Телекомпании, только при условии...
Сервера для обновления nod32 бесплатно
Отличие полной версии от триальной Полные (не триальные) антивирусные базы и программные компоненты Eset Antivirus и Eset Smart Security! Отличия...
Adblock detector