Система из четырех уравнений

Система из четырех уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

68. Уравнения с четырьмя и более неизвестными . Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным).

Такие соображения можно продолжить и дальше. Например, 5 уравнений с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать трем неизвестным и т. п.

Решать системы уравнений с большим числом неизвестных приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить решение.

Рассмотрим 2 примера. Пример 1:

x + y + 2z – t = 9
x + y – 2z + t = 7
x – y + z + 2t = –9
x – y – z – 2t = 5

Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень простое уравнение только с двумя неизвестными, а именно

2x + 2y = 16 или x + y = 8.

Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:

2x – 2y = –4 или x – y = –2.

Теперь легко решить 2 полученных уравнения (x + y = 8 и x – y = –2), и тогда найдем x = 3 и y = 5.

Читайте также:  Материнка для amd ryzen 5 1600x

Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:

3 + 5 + 2z – t = 9 или 2z – t = 1
3 – 5 + z + 2t = –9 или z + 2t = –7

Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет к таким же точно уравнениям.

Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:

Случай, когда число уравнений mбольше числа переменныхn, путем последовательного исключения неизвестных из уравнений приводится к случаюm=nилиmn. Первый случай рассмотрен ранее.

Во втором случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных mnи уравнения независимы, выделяютсяm основных переменныхи (nm)неосновных переменных. Основными являются переменные удовлетворяющие условию: определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю. Основными могут быть различные группы переменных. Общее количество таких групп Nравно числу сочетаний изnэлементов поm:

.

Если система имеет хотя бы одну группу основных переменных, то эта система является неопределенной, то есть имеет множество решений.

Если система не имеет ни одной группы основных переменных, то система является несовместной, то есть не имеет ни одного решения.

В том случае, когда система имеет множество решений, среди них выделяют базисное решение.

Базисным решениемназывают такое решение, в котором неосновные переменные равны нулю. У системы имеется не более чембазисных решений.

Решения системы делятся на допустимыеинедопустимые.

Допустимыминазывают такие решения, у которых значения всех переменных неотрицательны.

Если хотя бы одно значение переменной отрицательно, то решение называют недопустимым.

Найти базисные решения системы уравнений

Найдем число базисных решений

.

Итак, среди множества решений системы есть не более трех базисных. Выделим две основные переменные среди трех. Предположим, что это х1их2. Проверим определитель из коэффициентов при них

Читайте также:  Savefrom для opera расширение

.

Так как этот определитель не равен нулю, то переменные х1,х2являются основными.

Теперь положим, что х3=0. Тогда получим систему в виде

Решим ее по формулам Крамера:

, .

Итак, первое базисное решение имеет вид

Проверим теперь на принадлежность к основным переменные х1их3.

.

Получим, что х1их3— вторая группа основных переменных. Положимх2=0 и решим систему

, .

Второе базисное решение имеет вид

Теперь проверим на принадлежность к основным переменные х2их3.

то есть переменные х2их3неосновные. Итак, всего у данной системы оказалось два базисных решения. Оба эти решения допустимые.

Условие совместности системы mлинейных уравненийcnпеременными дается с помощью понятия ранг матрицы.

Ранг матрицы– это число равное наибольшему порядку минора отличного от нуля.

минором k-ого порядкаслужит определитель, составленный из элементов любыхkстрок иkстолбцов.

Найти ранг матрицы

Вычислим определитель матрицы

Для этого первую строку умножим на (-4) и сложим со второй строкой, затем первую строку умножим на (-7) и сложим с третей строкой, в результате получим определитель

Т.к. строки полученного определителя пропорциональны, то .

Отсюда видно, что минор 3-его порядка равен 0, а минор 2-ого порядка не равен 0.

Следовательно ранг матрицы r=2.

Расширенная матрицасистемы имеет вид

Теорема Кронекера — Капелли

Для того, чтобы линейная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы .

Если ,то система несовместна.

Для совместной системы линейных уравнений возможны три случая:

1)Если , то система ЛУ имеет (m-r) линейно зависимых уравнений, их можно исключить из системы;

2) Если , то система ЛУ имеет единственное решение;

Читайте также:  Видеокарта ati radeon hd 5570

3) Если , то система ЛУ имеет множество решений

Ссылка на основную публикацию
Сервер не поддерживает символы не ascii
Многие из нас пользуются замечательным FTP сервером FileZilla Server. Думаю, не я один столкнулся с проблемой некорректного отображения русских букв...
Ресивер пионер vsx 528
5.1 канальный AV ресивер Pioneer VSX-528 с 6x HDMI, AirPlay, DLNA, MHL, сквозным сигналом Ultra HD 4K и Интернет-радио vTuner....
Ресивер для нтв плюс какой лучше
Телекомпания НТВ‑ПЛЮС гарантирует получение качественных услуг, а также обеспечение корректного доступа к каналам и дополнительным сервисам Телекомпании, только при условии...
Сервера для обновления nod32 бесплатно
Отличие полной версии от триальной Полные (не триальные) антивирусные базы и программные компоненты Eset Antivirus и Eset Smart Security! Отличия...
Adblock detector