Сходимость ряда с факториалом примеры

Здесь мы продолжим начатый в первой части разбор примеров, в которых вопрос сходимости числовых рядов решается с помощью признака Д’Аламбера.

Признак Д’Аламбера (в предельной форме)

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Предел отношения двух многочленов" и "Второй замечательный предел".

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3^ncdot n!>$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.

Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на необходимость применения признака Д’Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=frac<3^ncdot n!>$ выражение $n+1$ вместо $n$:

Поговорим про упрощение полученного выражения. Во-первых, $frac<3^n><3^>=3^=3^<-1>=frac<1><3^1>=frac<1><3>$. Во-вторых, $frac<(n+1)!>=frac=frac<1>$. Итак выражение под пределом примет такой вид:

При вычислении данного предела было использовано равенство $lim_left(1+frac<1>
ight)^x=e$ (см. тему "Второй замечательный предел"). Число $e$ меньше трёх (верно приближённое равенство $eapprox 2,7183$), поэтому $frac <3>0$, то наш ряд является строго положительным.

Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на признак Д’Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=frac<6^<2n+5>left(3n^2-1
ight)><(n+3)!>$ выражение $n+1$ вместо $n$:

Кстати сказать, раскрывать скобки в выражении $3(n+1)^2-1$ было вовсе не обязательно, так как предел можно будет найти и без раскрытия скобок. Просто выражение $3n^2+6n+2$ смотрится попроще, чем $3(n+1)^2-1$. Раскрывать скобки или нет – в такой ситуации является делом вкуса.

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n^3$ (см. пример №2 на этой странице).

Так как $lim_frac>=0 0$, то наш ряд является строго положительным.

Так как задание общего члена ряда с помощью подобного произведения встречается впервые, то я напишу несколько первых членов этого ряда:

Для подобных рядов применение признака Д’Аламбера приводит к быстрому получению ответа. Запишем $u_$:

Кстати сказать, записать $u_$ можно более коротко и красиво:

Почему такая запись более выгодна? Вот почему: нам придётся находить предел выражения $frac>$. Давайте подставим в эту дробь выражение для $u_$:

Как видите, сокращение прошло крайне легко. Итак:

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)

Так как $lim_frac>=frac<2> <3>0$, то наш ряд является строго положительным.

Решение этот примера полностью аналогично решению предыдущего примера №5. Я добавил данный пример сугубо из-за выражения $(2n-1)!!$, которое читателю может быть незнакомо. Знак "!!" читается как "двойной факториал". Выражение $n!!$ обозначает произведение всех натуральных чисел, меньших $n$, чётность которых совпадает с чётностью числа $n$. Например, число 10 – чётное. Значит, запись $10!!$ означает произведение всех чётных натуральных чисел, которые меньше 10:

$$ 10!!=2cdot 4cdot 6cdot 8cdot 10=3840. $$

Другой пример: число 7 является нечётным. Поэтому выражение $7!!$ равно произведению всех нечётных натуральных чисел, которые меньше чем 7:

$$ 7!!=1cdot 3cdot 5cdot 7=105. $$

Каким бы ни был номер $n$, выражение $2n-1$ всегда равно нечётному числу. Таким образом, запись $(2n-1)!!$ означает произведение всех нечётных чисел от 1 до $2n-1$:

$$ (2n-1)!!=1cdot 3cdot 5cdotldotscdot(2n-1) $$

Применяем признак Д’Аламбера:

Так как $lim_frac>=5> 1$, то согласно признаку Д’Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д’Аламбера рассмотрим в третьей части.

Пусть задан положительный ряд $ sum _^infty a_n $, где $ a_n $ — общий член ряда. Исследовать сходимость ряда через признак Даламбера целесообразно в случаях, когда в общем члене ряда присутствует:

Формула

Для исследования ряда нужно воспользоватья формулой: $$ lim limits_ frac> = L $$ Если:

$ 0 leqslant L 1 — $ ряд расходится
$ L=1 — $ признак Даламбера не даёт ответа о сходимости

Частный случай: при $ small L = infty $ ряд расходится.
Если $ small L = 1 $, то возможно подойдет предельный признак сходимости

Пример 1

Исследовать сходимость ряда $ sum_^infty frac<6^n> $

Решение

Общий член ряда $ a_n = frac<6^n> $

Следущий член ряда $ a_ = frac<6^> <(n+1)!>$

Подставим это в формулу и найдем отношение следущего и предыдущего члена ряда:

Выполняем сокращение степеней и факториалов:

Теперь найдем предел получившегося соотношения:

Так как $ L = 0 подробное написание

Запишем общий член ряда: $ a_n = frac<(n+1)!> <(n+2)5^n>$

Выведем следующий член ряда с помощью подстановки $ n=n+1 $: $$ a_ = frac<(n+2)!><(n+3)5^> $$

Запишем отношение предыдущего члена к следующему:

Найдем предел полученного выражения и сделаем вывод о сходимости:

Так как получается неопределенность, то вынесем за скобки $ n $:

После сокращения числителя и знаменателя на $ n $ имеем:

Так как $ L = infty $, то по признаку Даламбера ряд расходится.

Теоретические основы

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

число в степени,
факториал,
цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Решаем примеры

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом