Сходимость ряда с факториалом примеры

Сходимость ряда с факториалом примеры

Здесь мы продолжим начатый в первой части разбор примеров, в которых вопрос сходимости числовых рядов решается с помощью признака Д’Аламбера.

Признак Д’Аламбера (в предельной форме)

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Предел отношения двух многочленов" и "Второй замечательный предел".

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3^ncdot n!>$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.

Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на необходимость применения признака Д’Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=frac<3^ncdot n!>$ выражение $n+1$ вместо $n$:

Поговорим про упрощение полученного выражения. Во-первых, $frac<3^n><3^>=3^=3^<-1>=frac<1><3^1>=frac<1><3>$. Во-вторых, $frac<(n+1)!>=frac=frac<1>$. Итак выражение под пределом примет такой вид:

При вычислении данного предела было использовано равенство $lim_left(1+frac<1>
ight)^x=e$ (см. тему "Второй замечательный предел"). Число $e$ меньше трёх (верно приближённое равенство $eapprox 2,7183$), поэтому $frac <3>0$, то наш ряд является строго положительным.

Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на признак Д’Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=frac<6^<2n+5>left(3n^2-1
ight)><(n+3)!>$ выражение $n+1$ вместо $n$:

Кстати сказать, раскрывать скобки в выражении $3(n+1)^2-1$ было вовсе не обязательно, так как предел можно будет найти и без раскрытия скобок. Просто выражение $3n^2+6n+2$ смотрится попроще, чем $3(n+1)^2-1$. Раскрывать скобки или нет – в такой ситуации является делом вкуса.

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n^3$ (см. пример №2 на этой странице).

Так как $lim_frac>=0 0$, то наш ряд является строго положительным.

Так как задание общего члена ряда с помощью подобного произведения встречается впервые, то я напишу несколько первых членов этого ряда:

Для подобных рядов применение признака Д’Аламбера приводит к быстрому получению ответа. Запишем $u_$:

Читайте также:  Как удалить старый айклауд и создать новый

Кстати сказать, записать $u_$ можно более коротко и красиво:

Почему такая запись более выгодна? Вот почему: нам придётся находить предел выражения $frac>$. Давайте подставим в эту дробь выражение для $u_$:

Как видите, сокращение прошло крайне легко. Итак:

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)

Так как $lim_frac>=frac<2> <3>0$, то наш ряд является строго положительным.

Решение этот примера полностью аналогично решению предыдущего примера №5. Я добавил данный пример сугубо из-за выражения $(2n-1)!!$, которое читателю может быть незнакомо. Знак "!!" читается как "двойной факториал". Выражение $n!!$ обозначает произведение всех натуральных чисел, меньших $n$, чётность которых совпадает с чётностью числа $n$. Например, число 10 – чётное. Значит, запись $10!!$ означает произведение всех чётных натуральных чисел, которые меньше 10:

$$ 10!!=2cdot 4cdot 6cdot 8cdot 10=3840. $$

Другой пример: число 7 является нечётным. Поэтому выражение $7!!$ равно произведению всех нечётных натуральных чисел, которые меньше чем 7:

$$ 7!!=1cdot 3cdot 5cdot 7=105. $$

Каким бы ни был номер $n$, выражение $2n-1$ всегда равно нечётному числу. Таким образом, запись $(2n-1)!!$ означает произведение всех нечётных чисел от 1 до $2n-1$:

$$ (2n-1)!!=1cdot 3cdot 5cdotldotscdot(2n-1) $$

Применяем признак Д’Аламбера:

При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)

Так как $lim_frac>=5> 1$, то согласно признаку Д’Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д’Аламбера рассмотрим в третьей части.

Пусть задан положительный ряд $ sum _^infty a_n $, где $ a_n $ — общий член ряда. Исследовать сходимость ряда через признак Даламбера целесообразно в случаях, когда в общем члене ряда присутствует:

Формула

Для исследования ряда нужно воспользоватья формулой: $$ lim limits_ frac> = L $$ Если:

  1. $ 0 leqslant L 1 — $ ряд расходится
  2. $ L=1 — $ признак Даламбера не даёт ответа о сходимости

Частный случай: при $ small L = infty $ ряд расходится.
Если $ small L = 1 $, то возможно подойдет предельный признак сходимости

Пример 1
Исследовать сходимость ряда $ sum_^infty frac<6^n> $
Решение
Читайте также:  Как перезагрузить айфон 8 plus если завис

Общий член ряда $ a_n = frac<6^n> $

Следущий член ряда $ a_ = frac<6^> <(n+1)!>$

Подставим это в формулу и найдем отношение следущего и предыдущего члена ряда:

Выполняем сокращение степеней и факториалов:

Теперь найдем предел получившегося соотношения:

Так как $ L = 0 подробное написание

Запишем общий член ряда: $ a_n = frac<(n+1)!> <(n+2)5^n>$

Выведем следующий член ряда с помощью подстановки $ n=n+1 $: $$ a_ = frac<(n+2)!><(n+3)5^> $$

Запишем отношение предыдущего члена к следующему:

Найдем предел полученного выражения и сделаем вывод о сходимости:

Так как получается неопределенность, то вынесем за скобки $ n $:

После сокращения числителя и знаменателя на $ n $ имеем:

Так как $ L = infty $, то по признаку Даламбера ряд расходится.

Теоретические основы

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

  • число в степени,
  • факториал,
  • цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

  • а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
  • б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
  • в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Решаем примеры

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Пример 2
Исследовать ряд на сходимость через признак Даламбера $ sum_^infty frac<(n+1)!> <(n+2)5^n>$
Решение
Ссылка на основную публикацию
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Adblock detector