Шаблон синусоиды и косинусоиды

Шаблон синусоиды и косинусоиды

размещено: 22 Марта 2004

1.Файл Sin.vlx загрузить как приложение.
2.Набрать в командной строке команду sin.

Примечание :
K1 — амплитуда синусоиды.
K2 — частота синусоиды.
K3 — сдвиг фаз синусоиды.
P — число сегментов дробления синусоиды (точность).
X1 и X2 — граничные точки синусоиды.
Ext — клавиша показывает полностью синусоиду в диалоговом окне.
+ увеличение масштаба в 1.3 раза в диалоговом окне.
— уменьшение масштаба в 1.3 раза в диалоговом окне.
жёлтая клавиша изображения — устанавливает масштаб 100% и
центрирует оси координат в диалоговом окне.
Область определения синусоиды может задаваться в градусах или радианах.
При больших значениях координат векторного изображения просмотр
в диалоговом окне отключается.

Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида. Вариант для печати.

  • Графики тригонометрических функций.
  • Углы произвольной величины
  • Построение синусоиды и косинусоиды
  • Синусоидальные и косинусоидальные графики
  • Периодические функции и период
  • Углы запаздывания и опережения
  • Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Все углы А по умолчанию приведены в градусах. Все таблицы значений и формулы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (здесь). Во всех формулах пределов и разложений в ряд — углы в радианах.

Графики функций y=sinA, y=cosA, y=tgA,построенные для диапазона от 0 o до 360 o , показаны на рисунках ниже.


График функции y=sinA (синусоида)

График функции y=cosA (косинусоида)

График функции y=tgA (тангенсоида)

Из графиков видно что:

  1. Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
  2. Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
  3. Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .

Углы произвольной величины

На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ’ и YY’; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О — отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.

График. Положительное или отрицательное направление при движении по окружности.

Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ1 — любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева. Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ2 — любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ2=+/+ = +; cos Θ2=+/- = -; tg Θ2=+/- = -. Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ3 — любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ3= -/+ = -; cos Θ3= -/+ = -; tg Θ3 = -/- =+ .

График. Поcтроение углов в различных квадрантах.

Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ4— любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ4= -/+= -; cos Θ4=+/+=+; tg Θ4= -/+= -.

В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем — только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.


Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0 o и 360 o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin -1 , получим ответ 19,03 o . Однако существует второй угол между 0 o и 360 o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180 o — 19,03 o = 160,97 o . Таким образом, 19,03 o и 160,97 o — это углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен 0,3261.

Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Пример 1

Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071

Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).

График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o — 45 o = 315 o .

Читайте также:  Kb3135445 windows 7 x64


Примечание. Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Пример 2

Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.

Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах — рис. слева.
График. Нахождение всех углов по заданному значению тангенса (пример)

Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53 o .
Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , тангенс которых равен 1,327, это 53 o и 180 o + 53 o , т.е. 233 o .
График. Нахождение всех углов по заданному значению тангенса (пример)

Построение синусоиды и косинусоиды

Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o . Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30 o вертикальная составляющая — это ТS, а горизонтальная — ОS.

График. Построение синусоиды.

Из определения тригонометрических функций
sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o

Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T’S’, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.


Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.
Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90 o .
График. Построение косинусоиды.

Синусоидальные и косинусоидальные графики


График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды).

График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды).

График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды).

График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды).

Периодические функции и период
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями.
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360 o (или 2π радиан), поэтому 360 o называется периодом этих функций. Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180 o (или π радиан),поэтому 180 o — это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р — константа), то период функции равен 360 o /p (или 2π/p радиан ). Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360 o /3= 120 o , если y=cos4A, то период этой функции равен 360 o /4= 90 o .

Амплитуда
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период — 360 o /2= 180 o .

Пример 3.
Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда =3, период = 360 o /2 =180 o .
График. Построение y=3sin2A (синусоида).

Пример 4.
Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o

Решение:
Амплитуда = 4. период = 360 o /2 =180 o .

График. Построение y=4cos2x (косинусоида).

Углы запаздывания и опережения
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0 o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α — сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.

o ) (синусоида)." name="sin(A-60)" src="https://www.dpva.ru/netcat_files/Image/GuideMathematics/TrigonometricCurves/sin(A-60).gif" style="float: left; width: 311px; height: 168px;" title="График. y=sin(A-60o) (синусоида)." />Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60 o ), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0 o , то кривая y=sin(A-60 o ) начинается в 60 o (т.е. ее нулевое значение на 60 o правее ). Таким образом, говорят, что y=sin(A-60 o ) запаздывает относительно y=sinA на 60 o .
График. y=sin(A-60 o ) (синусоида).

o ) (косинусоида)." name="cos(A+45)" src="https://www.dpva.ru/netcat_files/Image/GuideMathematics/TrigonometricCurves/cos(A+45).gif" style="float: left; width: 311px; height: 168px;" title="График. y=cos(A+45o) (косинусоида)." /> Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45 o ), показанный на рис. ниже.
Если кривая y=cosA начинается в 0 o , то кривая y=cos(A+45 o ) начинается на 45 o левее (т.е. ее нулевая величина находится на 45 o раньше ).
Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45 o ) опережает график y=cosA на 45 o .
График. y=cos(A+45 o ) (косинусоида).

В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90 o левее, т.е. опережает ее на 90 o . Следовательно, cosA=sin(A+90 o ).

Читайте также:  Рабочая станция hp z2 mini g4

Пример 5.
Построить график y=5sin(A+30 o ) в диапазоне от А=0 o до А=360 o

o ) (синусоида)." name="5sin(A+30)" src="https://www.dpva.ru/netcat_files/Image/GuideMathematics/TrigonometricCurves/5sin(A+30).gif" style="float: left; width: 311px; height: 168px;" title="График. y=cos(A+45o) (косинусоида)." />
Решение:
Амплитуда = 5, период = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o ) опережает 5sinA на 30 o т.е. начинается на 30 o раньше.
График y=5sin(A+30 o ) (синусоида).

Пример 6.
Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0 o до А=360 o .

Решение:
Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на ( π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o
График. y=7sin2A и y=7sin(2A-п/3) (синусоиды).

Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt.
Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.
График. Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда
Т=2π/ ω (с), где
Т — это период
Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц, т.е. f= ω/2π Гц
Следовательно, угловая скорость
ω=2πf рад/с.

Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А — амплитуда
ω — угловая скорость
2π/ ω — период Т, с
ω/2π — частота f, Гц
α — угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt ) в радианах, он называется также фазовым углом.

Пример 7.
Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)

Решение:
i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,
амплитуда равна 20 А
угловая скорость ω=90π, следовательно,
период Т = 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частота f = 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α = 0,26 рад. = (0,26*180/π) o = 14,9 o .

Пример 8.
Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).

Решение
Амплитуда = максимальное смещение = 3м
Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с
Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.
При t=0 смещение = 100см=1м.
Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33
Следовательно α=arcsin0,33=19 o
Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).

Пример 9.
Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти:
а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
б) значение напряжения при t =0
в) значение напряжения при t =10 мс
г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В.
Решение:
а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π
Следовательно,
период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс
частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц
фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31 o с запаздыванием относительно v=350sin(40πt)
б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31 o )=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/10 3 -0,542)=350sin(0,714)=350sin41 o =229,6 В
г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)

График. Колебательный механизм (пример, синусоида).

v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс

—> —>

—>Категории —>
—>
Методическая копилка [19]
ГИА по математике [24]
Математика, 5 класс [22]
Математика, 6 класс [4]

—>

—> —>

—>Форма входа —>
—>

Войти через uID

—>

—> —>

—>Опросы —>
—>
—>

—> —>

—> —>Статистика —>

—> —>

—> —>Поиск —>

—> —>

—> —>Кнопка сайта —>
—>

—>

—>

—>Приветствую Вас , Гость · RSS 14.04.2020, 19:12

—> —> —>Главная » 2010 » Сентябрь » 22 » Преобразования графиков тригонометрических функций

При параллельном переносе графиков тригонометрических функций я применяю на уроках набор шаблонов. Шаблоны изготовлены из картона, очень точная разметка, аккуратно вырезаем маникюрными ножницами. Единичный отрезок 1 сантиметр. Это самый удобный масштаб для работы с графиками тригонометрических функций. Без труда дети делают разметку на оси Ох и, самое главное, повторяют доли числа ! А это очень важно, т.к. затем они быстро находят длины векторов параллельного переноса: – на 6 клеток, /2 – на 3 клетки, /4 – 1,5 клетки, /3 – на 2 клетки, /6 – на 1 клетку.

Например, чтобы построить график функции у=sin(x – ) приложим шаблон так, чтобы одна из вершин нашего шаблона ("макушка" волны) была в точке ( /2; 1). Это синусоида. А теперь сдвинем вправо на , т.е. на 6 клеток. В одной системе координат можно построить несколько графиков. Дети любят использовать цветные пасты, но это не обязательный атрибут в работе. Обязательным же является оформление аналитической записи функции рядом с графиком, т.к. при проверке учителю будет сложно разобраться в этом множестве перепутавшихся графиков.

Важно. При построении графиков с помощью шаблонов надо просить детей проверять ключевые точки. Например, точки пересечения с осью Ох или вершины синусоиды. Например, сдвинув синусоиду на /3, прошу детей посмотреть, что все точки пересечения сдвинулись ровно на 2 клетки.

Фрагмент занятия в реале был рассчитан на 20 минут. В виртуале я позволю себе несколько выйти за рамки этого времени.

Тема занятия "Графики функций y=cos(x+a), y=cosx+a, y=sin(x+a), y=sinx+a".
Цель занятия: показать применение преобразований графиков при решении уравнений и неравенств.
Развивающие цели: развитие внимания и наблюдательности, навыков исследования, грамотной математической речи, развитие моторики руки.
Воспитательные цели: воспитывать умение работать в необычной ситуации.

Дети, сегодня мы поведем фрагмент урока, но за это время мы должны успеть получить новые знания, а самое важное посмотреть при решении каких заданий эти знания нам помогут. Тема занятия: "Графики функций y=cos(x+a), y=cosx+a, y=sin(x+a), y=sinx+a". Строить графики мы будем с помощью знакомых вам шаблонов.

Алгоритмы построения этих графиков вам знакомы. Повторим.

  • График функции y=f(x+a) можно получить, выполнив параллельный перенос вдоль оси Ох на а единичных отрезков вправо, если а 0.
  • График функции y=f(x)+a можно получить, выполнив параллельный перенос вдоль оси Оy на а единичных отрезков вниз, если а 0.

Задание 1. Строим систему координат. Делаем разметку.

Как выполнить построение графика функции y=sin(х – ).

"Зацепились" за макушку волны, например, точку ( /2; 1), переместили шаблон на 6 клеток вправо. Подписали график. А теперь посмотрим, как изменились свойства функции.

На доске оформлена таблица свойств функции y=sinx. Задание: рассказать о свойствах функции y=sin(х – ) . К экрану приглашаю ученика "прочитать" свойства. Ученик работает с указкой, а сама записываю на доске свойства функции, заполняя правую часть таблицы. Если свойство не изменилось, то для экономии времени просто ставлю знак "+".

y= sinx y= sin(x – )
D(y): xR не изменилось
E(y): y [–1; 1] не изменилось
y наиб . = 1,
при х= /2 + 2 n
не изменилось
при х= – /2 + 2 n
y наим . = – 1,
при х= – /2 + 2 n
не изменилось
при х= /2 + 2 n
нечетная функция не изменилось
T= 2 не изменилось
у=0, при х= n не изменилось
у>0, х (2 n; + 2 n) ( – +2 n; 2 n)
у ( – +2 n; 2 n) (2 n; + 2 n)
возр. х [ – /2+2 n; /2 + 2 n] [ /2+2 n; 3 /2 + 2 n]
убыв. [ /2+2 n; 3 /2 + 2 n] [ – /2+2 n; /2 + 2 n]

nZ

Задание 2, устно. Функция y=sin(x + 2 ). Какое преобразование надо выполнить и что произойдет с данным графиком? Проверим вашу гипотезу. (показываю анимацию параллельного переноса на 2 ). Почему же при этом преобразовании графики полностью совместились? Приведите свои примеры таких функций?

Задание 3. Работаем аналогично.

y=cosx y=cosx + 2
D(y): xR не изменилось
E(y): y [–1; 1] E(y): y [1; 3]
y наиб . = 1,
при х= 2 n
y наиб . = 3,
не изменилось
y наим . = – 1,
при х= + 2 n
y наим . = 1,
не изменилось
четная не изменилос
T= 2 не изменилось
у=0, при х= /2+ n нулей ф-и нет
у>0, х ( – /2+2 n; /2 + 2 n) у>0, xR
у ( /2+2 n; 3 /2 + 2 n) значений нет
возр. х [ – +2 n; 2 n] не изменилось
убыв. [2 n; + 2 n] не изменилось

nZ

Задания 4 и 5. В этой же системе координат мы построим еще два графика.

При решении каких заданий нам будут необходимы умения строить графики? .
Конечно, при решении уравнений и неравенств графическим способом. Задания 6, 7 и 8 решаем устно с комментированием.

Задание 9. Решаем в тетради, комментируя шаги построения каждого графика. Ответ: корней нет.

Задание 10. Решить самостоятельно, с последующей проверкой.

Задание 11. Решить неравенство самостоятельно, с последующей проверкой. Здесь я предлагаю детям найти различные формы записи ответа к заданию. Например, х ( –3 /2+2 n; –5 /6 + 2 n) или х ( /2+2 n; 7 /6 + 2 n), nZ.

Задание 12. Устно.
Подведем итоги. При решении каких заданий нам потребуется построение графиков? Слайд 14.

Презентация к уроку [ скачать с сервера, архив WinRAR 80.35 Kb ]

Ссылка на основную публикацию
Что значит код ошибки 805а8011
Многие владельцы смартфонов с операционной системой Windows Phone не могут войти в учетную запись магазина Marketplace. На экране появляется код...
Хочу создать группу в контакте
Приветствую вас, дорогие читатели. Социальные сети уже давно вошли в нашу жизнь, поэтому всем владельцам абсолютно любого бизнеса, как традиционного,...
Хром для андроид тв приставок
Всем привет! Предлагаю очередной раз поднять больную тему браузеров для Android TV. В разделе «вопрос – ответ» уже много раз...
Что значит интегрированный процессор
Здравствуйте, уважаемые пользователи и любители компьютерного железа. Сегодня порассуждаем на тему, что такое интегрированная графика в процессоре, зачем она вообще...
Adblock detector