Сформулируйте теорему о биссектрисе угла треугольника

Сформулируйте теорему о биссектрисе угла треугольника

Определения

Какие определения нам понадобятся в процессе работы? Во-первых, это определение биссектрисы.

Биссектриса – это луч, имеющий начало в вершине угла и делящий угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы, которой начинается в вершине треугольника и заканчивается на стороне, противолежащей этой вершине.

Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Треугольник в этом случае называется описанным.

Теперь обозначим основные свойства биссектрисы и приведем для них доказательства.

Первое, что нужно обозначить, это различие понятий биссектрисы и биссектрисы треугольника. Это похожие вещи, но свойства биссектрис углов треугольников не будут действовать на все биссектрисы. Это нужно запомнить.

Свойства биссектрисы треугольника

  • Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Проведем в треугольнике АВС биссектрису ВК. После этого проведем прямую СМ, параллельную этой биссектрисе так, что точка М будет являться точкой пересечения продолжения стороны АВ.

Тогда два параллельных отрезка ВК и МС отсекут от сторон угла ВАС пропорциональные отрезки. То есть: АВ:АК=ВМ:КС. Докажем, что ВМ=ВС. Для этого посмотрим на треугольник ВМС. Угол АВК равен углу ВМС, как соответственные углы параллельных прямых при секущей АМ. С другой стороны угол КВС равен углу ВСМ, как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ВС. Но при этом угол АВК равен углу КВС, так как ВК – это биссектриса. Запишем все в виде равенств для большего понимания.

$АВК = КВС$, значит углы ВМС и МСВ равны, а треугольник МВС – равнобедренный. Тогда $ВМ=ВС$ и $АВ:АК=ВС:СК$. Что и требовалось доказать.

Рис. 1. Первое свойство

  • Биссектриса равноудалена от сторон угла, в котором она проведена.

Это свойство не биссектрисы треугольника, а любой биссектрисы, поэтому ее доказательство проще рассматривать на рисунке угла.

Читайте также:  Наложение картинки на видео

Нарисуем угол АВС и проведем в нем биссектрису ВМ. Расстояние от биссектрисы до стороны в любой точке это перпендикуляр. Поэтому выберем произвольную точку на биссектрисе. Назовем ее D и опустим перпендикуляр на сторону АВ в точку Р и на сторону ВС в точку N. Тогда мы получим два прямоугольных треугольника: DРВ и DNB, равные между собой по гипотенузе ВD, которая будет общей стороной треугольников, и острому углу, так как угол PBD равен углу DBN, так как ВМ – биссектриса. Значит, и стороны PD=DN – как соответственные элементы. Доказательство простое, но изящное. Знание этого свойство поможет в доказательстве следующей теоремы.

Рис. 2. Второе свойство

  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка служит центром вписанной окружности. Это доказывается очень просто, необходимо из точки пересечения опустить перпендикуляры к каждой стороне.

Рис. 3. Третье свойство

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое биссектриса треугольника и чем она отличается от обычной биссектрисы. Выделили три свойства биссектрисы треугольника, которые пригодятся при решении задач и доказательстве теорем.

Нужна помощь разбирающихся в геометрии. Требуется дать ответ на вопрос, который звучит так: «Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла». Помощь нужна в самые короткие сроки – утром контрольная!
Заранее благодарю откликнувшихся!

Теорема о биссектрисе угла:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, которые пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам данного треугольника.

Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и биссектрису AD угла BAC. Из свойства биссектрисы вытекает равенство углов BAD и DAC.
Продолжим отрезок AC за вершину А треугольника ABC.
Через вершину В треугольника ABC проведем прямую, которая параллельна биссектрисе AD. Точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой E.
Докажем равенство отрезков AB и AE.
Для доказательства обратим внимание на равенство угла EBA и угла BAD как внутренних накрест лежащих при двух параллельных AD и EB и секущей АВ.
Также обратим внимание на равенство угла BEA и угла DAC как соответственных при двух параллельных прямых AD и EB и секущей АС.
Следовательно углы EBA и BEA равны между собой, из чего также следует, что треугольник ВЕА – равнобедренный, то есть отрезки AE и AB равны.
Воспользуемся теоремой Фалеса и составим пропорцию:

Читайте также:  Split view mac os

Из пропорции следует пропорциональность прилежащих сторон и отрезков, на которые делит биссектриса противоположную сторону треугольника.
Теорема доказана.

Теорема. Биссектриса любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Требуется доказать, что если ∠ABD = ∠DBC, то AD : DC = АВ : ВС.

Проведём СЕ || BD до пересечения в точке Е с продолжением стороны АВ. Тогда, согласно теореме о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, будем иметь пропорцию:

Чтобы от этой пропорции перейти к той, которую требуется доказать, достаточно обнаружить, что ВЕ = ВС, т. е. что (Delta)ВСЕ равнобедренный.

В этом треугольнике ∠Е = ∠ABD (как углы соответственные при параллельных прямых) и ∠ВСЕ = ∠DBC (как углы накрест лежащие при тех же параллельных прямых).

Но ∠ABD = ∠DBC по условию; значит, ∠Е = ∠ВСЕ, а потому равны и стороны BE и ВС, лежащие против равных углов.

Теперь, заменив в написанной выше пропорции BE на ВС, получим ту пропорцию, которую требуется доказать.

Пример. Пусть АВ = 10; ВС = 7 и АС = 6. Тогда, обозначив AD буквой x, можем написать пропорцию: x : (6 — x) = 10 : 7,

Ссылка на основную публикацию
Стим показывает что я не в сети
Не редко пользователи Steam встречаются с проблемой, когда подключение к интернету есть, браузеры работают, но клиент Стим не грузит страницы...
Смарт часы что они умеют
В этой статье мы поговорим о том, для чего нужны умные часы, а также какими функциями они располагают чаще всего....
Смарт часы самсунг с сим картой
Хотите быть современным и модным человеком? Перестать зависеть от своего громоздкого смартфона? Только представьте, вы можете не брать телефон на...
Стим саппорт украли аккаунт
Если ваш аккаунт Steam украли или взломали, то до его восстановления вам необходимо выполнить действия, указанные ниже, иначе аккаунт может...
Adblock detector