Эквивалентность бесконечно малых величин

Эквивалентность бесконечно малых величин

Высшая математика — лекции, конспекты, задачи с решениями

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .

1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
6) ( ).
) .
7) ( ).
) .

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .

Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что при ), на эквивалентную величину (учтя, что при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и непрерывны и что и .

Заменим в числителе на эквивалентную величину , а знаменатель — на эквивалентную величину . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ:

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Если сделать замену , то при новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в "стандартную" базу . Подставляя и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:

Мы применили табличную формулу , а затем сократили дробь на и получили ответ.

Читайте также:  Настроить монитор для обработки фотографий

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Здесь мы последовательно воспользовались формулами

и учли, что величины , , , являются бесконечно малыми при .

Используя полученную в результате эквивалентность

мы можем, например, вычислить предел

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенное дифференциальное уравнения (ОДУ). Интегрирование в квадратурах. Фазовое пространство. Изоклины. Интегральная кривая. Задача Коши для ОДУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. ОДУ высших порядков. Понижение порядка. Краевая задача. Однородное и неоднородное ОДУ, принцип суперпозиции решений. Фундаментальная система решений, определитель Вронского. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Построение фундаментальной системы решений по корням характеристического уравнения. Системы ОДУ.

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй. Разумеется, можно менять не все функции а только одну или некоторые из них.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Читайте также:  Как обозначить массив в блок схеме
Эквивалентность при Равенство при

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 2

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 3

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .

Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;

.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 4

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Читайте также:  Как добавить в оглавление пункт в ворде

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x); это обозначается так: α

х при х→0, т.к при x→0, т. к.

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

т. е. Отсюда т. е. α

ß. Аналогично, если то α

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е. . Тогда

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

1.

О непрерывности логарифмической функции. Знак предела и логарифма можно поменять местами.

3.

4.

5.

Таблица основных эквивалентностей:


Дата добавления: 2015-07-02 ; Просмотров: 2466 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Шум в радиаторах отопления как устранить
Отопительная система конструктивно очень сложна, а от ее функционирования зависит уровень комфорта всех жильцов дома. Когда монтажом отопления занимаются профессионалы,...
Что значит код ошибки 805а8011
Многие владельцы смартфонов с операционной системой Windows Phone не могут войти в учетную запись магазина Marketplace. На экране появляется код...
Что значит интегрированный процессор
Здравствуйте, уважаемые пользователи и любители компьютерного железа. Сегодня порассуждаем на тему, что такое интегрированная графика в процессоре, зачем она вообще...
Шутеры по локальной сети на андроид
Перемещайтесь по многочисленным картам игры и уничтожайте врагов с помощью различного оружия. v4.2 + Мод: много денег Великолепная аркада с...
Adblock detector