Характеристическая функция распределения коши

Характеристическая функция распределения коши

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью fX(x) , имеющей вид:

,

  • — параметр сдвига;
  • γ > 0 — параметр масштаба.

Тогда говорят, что X имеет распределение Коши и пишут X˜C(x,γ) . Если x = 0 и γ = 1 , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

.

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

не определён для , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

  • Распределение Коши бесконечно делимо.
  • Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то

Связь с другими распределениями

  • Если , то

.

  • Если X1,X2 — независимыенормальные случайные величины, такие что , то

.

  • Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Распределение Лоренца" в других словарях:

Распределение Коши — Плотность вероятности … Википедия

Распределение (математика) — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет … Википедия

Распределение (теория вероятностей) — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет … Википедия

Распределение вероятности — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет … Википедия

Читайте также:  Huawei honor 8 lite nfc

Распределение случайной величины — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет … Википедия

Распределение хи квадрат — Плотность вероятности k число степеней свободы Функция распределения k число степеней свободы Параметры … Википедия

Распределение доходов населения — (income distribution, distribution of earnings ) – один из важнейших показателей, характеризующий не только уровень благосостояния людей ( а это главный критерий эффективности существующего социально экономического устройства), но и ситуацию с … Экономико-математический словарь

распределение доходов населения — Один из важнейших показателей, характеризующий не только уровень благосостояния людей (а это главный критерий эффективности существующего социально экономического устройства), но и ситуацию с социальной справедливостью в данной стране, для России … Справочник технического переводчика

Распределение Фишера-Снедекора — Распределение Фишера Плотность вероятности Функция распределения Параметры числа с … Википедия

Распределение парето — Плотность вероятности xm = 1 Функция распределения xm = 1 Параметры … Википедия

Для случайной величины $xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|phi_<xi>(t)| le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Читайте также:  Как найти субтитры к фильму

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $xi$ найти характеристическую функцию $phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(xi=k)=a^k/k!cdot e^<-a>, k=1,2. a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $phi(t)$, кумулянтную функцию $gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^, 0 lt p lt 1, k=0,1,2. n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^ (agt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_<xi>(x)=e^<-|x|>/2.$

  • В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 542

    Скопировать библиографическую ссылку:

    КОШИ́ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ , имею­щее плот­ность $$p(x; lambda, mu)=<1 overpi>frac<lambda><pilambda^2+(x-mu)^2>,,-∞ где $-∞ и $λ>0$ – па­ра­мет­ры. К. р. уни­мо­даль­но и сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но точ­ки $x=μ$ , яв­ляю­щей­ся мо­дой и ме­диа­ной это­го рас­пре­де­ле­ния [на рис. а и б изображены графики плот­но­сти $p(x; λ, μ)$ и соответствующей функции распределения $F(x; λ, μ)$ при $μ=1,5$ и $λ=1$ ]. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние К. р. не су­ще­ст­ву­ет. Ха­рак­те­ри­сти­че­ская функ­ция К. р. рав­на $e^,,-infty lt t lt infty$ . Про­из­воль­ное К. р. с па­ра­мет­ра­ми $μ$ и $λ$ вы­ра­жа­ет­ся че­рез стан­дарт­ное К. р. с па­ра­мет­ра­ми 0 и 1 фор­му­лой $$p(x;mu,lambda)=<1 overlambda>pleft(frac<lambda>
    ight),$$ где $$p(x)=frac<1><pi(1+x^2)>.$$

    Ссылка на основную публикацию
    Установка mac os transmac
    В сети сейчас полно копипастов, по сути одной и той же статьи, про установку MacOS X на хакинтош примерно с...
    Тест для определения цвета волос
    Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
    Тест графики видеокарты 3dmark
    Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
    Установка op com на windows 10
    Всем привет! Очень многие вектроводы заказывают с Китая OP-COM и сталкиваются с проблемами установки драйверов самого OP-COM на различных системах...
    Adblock detector