Функция одной независимой переменной

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x.

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой, а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией.

Множество X называется областью определения функции, а множество Y — областью ее значений.

Существует ряд способовзадания функции:

а) наиболее простой — аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x, при которых формула имеет смысл;

б) графическийспособ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f(x) используется координатная плоскость (xy).

Совокупность точек y, соответствующих заданным значениям x, определяет график функции на плоскости (xy);

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, принадлежащего области определения функции X, значение (–x) тоже принадлежит X и при этом выполняется

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x X следует (–x) X и при этом

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f(x) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида.

Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающейна некотором интервале (a, b), если для любых x₁, x₂ (a, b), таких,

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b) — интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными, а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на интервале (a, b), если существует такое число С > 0, что для любого x (a, b) следует |f(x)| 0 существует такой x (a, b), что |f(x)| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a, b).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность.Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число t, что для любого x X выполняется

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т.

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константаy = c, где с — постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x.

2. Степенная функция , где — любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n), целых отрицательных ( = –n) и дробных ( = 1/n) значениях представлен ниже.

3. Показательная функция y = a x (a > 0; a 1).

4. Логарифмическая функция y = log_a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции.

y = arcsin x y = arccos x

б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log₂ y. Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

Также можно ввести понятиеобратной функции.Пусть y = f(x) задана в области определения X, а Y — множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y и по нему найдем x так, чтобы y было равно f(x).Подобных значений x может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x. Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g(y), которая называется обратной для функции y = f(x).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y, то значение x, удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log_a y. То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log_a y.

Следовательно, функция x = log_a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y. Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x, то в этом случае говорят, что y = f(x) и y = g(x) — обратные функции.

Графики функции y = f(x) и обратной ей функции y = g(x) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .
В этом случае х называется аргументом, а у — значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y — множеством значений функции.
Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5 или . Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

Функцияю можно так же задать графиком — Графиком функции у — f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).

Основные определения и понятия

Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными.

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных, или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;

2) положительное направление, указываемое стрелкой;

3) масштаб для измерения длин.

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное действительное число РxР, определяемое следующим образом: РxР = x, если x ? 0, и РxР = —x, если x 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:

— M ? x ? M, т.е. РxР ? M.

Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y.

Переменная x называется в этом случае аргументом, или независимой переменной, а множество X — областью определения функции.

Запись y = f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).

Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток) (a, b), т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a 0, a ? 1.

3. Логарифмическая функция: , где a > 0, a ? 1.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,

5. Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x,

Если y является функцией от u, а u есть функция от x, то y также зависит от x. Пусть y = F(u), u = ?(x). Тогда y = F(?(x)). Последняя функция называется функцией от функции, или сложной функцией. Например, y = sin u, u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x.

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x), где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Пример 1. Найти , если .

Решение. Найдём значения данной функции при x = a и x = b:

Пример 2. Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

Решение. а) Так как , то

т.е. f(- x) = — f(x). Следовательно, функция нечётная.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Функция определена, если 2x — 1 ? 0, т.е. если . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Функция определена, если x — 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > — 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( — 1, 1) и (1, + ?).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент