Формула геометрической прогрессии для excel

Формула геометрической прогрессии для excel

Пользователь может вводить в ячейки не только текстовые, но и числовые последовательности. Например, если записать в соседние ячейки числа 2 и 3, выделить их обычным способом, а затем выполнить автозаполнение (как описано в п. 8.2.1), то в ячейках появятся значения 4, 5, 6, продолжением ряда 300, 500 будут числа 700, 900, 1100, . .

Эти последовательности представляют собой арифметические прогрессии с заданным шагом (в первом случае шаг равен 1, во втором — 200). В том случае, когда требуется заполнить ячейки числами геометрической прогрессии, необходимо:

1) ввести в одну из ячеек начальное значение прогрессии;

2) вниз или вправо выделить ячейки, которые необходимо заполнить;

3) выполнить команду Заполнить-Прогрессия. (Правка);

4) в появившемся диалоговом окне в группе Тип выбрать переключатель геометрическая, в поле Шаг набрать шаг прогрессии (не равный единице) и нажать кнопку ОК.

Если в поле Предельное значение диалогового окна Прогрессия ввести какое-либо число, то значения прогрессии не превысят заданной величины.

При этом может получиться так, что не все выделенные ячейки окажутся заполненными. Здесь, пожалуй, все-таки следует напомнить, что арифметическая прогрессия описывается соотношением a(i) = a(i-l) + h, а геометрическая прогрессия — a(i) = a(i-l)-h, где a(i) — очередное значение прогрессии, a(i-l) — предыдущее значение, h — шаг прогрессии. В диалоговом окне Прогрессия можно также задать арифметическую прогрессию, последовательности дат, дней недели и др. , которые, однако, удобнее создавать автозаполнением с помощью мыши.

Программа предлагает уникальную возможность ввода данных. Давайте рассмотрим конкретный пример. При заполнении документа вам необходимо ввести порядковые номера с 1-го по 14-й. Можно вводить их вручную. Мы же воспользуемся возможностями программы.

Введите в ячейки значения как показано на рисунке.

Выделите ячейки В3 и В4, в которых расположены порядковые номера и , и поместите указатель мыши в правый нижний угол ячейки В4. Указатель примет вид черного крестика, который называется маркером автозаполнения.

Нажмите левую кнопку мыши и, удерживая её нажатой, перемещайте указатель вниз. Рядом с крестиком на жёлтом фоне появляется подсказка, показывающая какое сейчас значение порядкового номера. Когда значение будет равно , отпустите левую кнопку мыши.

Представьте, если бы вам понадобилось вводить вручную несколько сотен порядковых номеров. Данный приём автозаполнения позволяет вам значительно ускорить эту работу и избежать ошибок ввода.

В вышеприведённом примере мы вводили порядковые номера. Часто нам приходится вводить значения не по порядку, а в виде прогрессии с определённым шагом. Программа предоставляет нам эту возможность, которая значительно облегчит нам работу и предотвратит ошибки.

Автоматический ввод прогрессии

Прогрессия – ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в котором разность или отношение между соседними числами сохраняют постоянную величину.

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путём прибавления или вычитания некоего постоянного числа.

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путём умножения или деления на некое постоянное число.

Давайте рассмотрим пример заполнения арифметической прогрессии с шагом 4, т.е. каждый следующий член прогрессии образуется прибавлением к предыдущему числа 4 (1,5,9,13…).

Есть 2 варианта заполнения прогрессии. В первом примере мы будем использовать приём перетаскивания маркера автозаполнения. Во втором воспользуемся командами меню.

1. Введите в ячейку В2 значение «», а в ячейку В3 значение «». Выделите ячейки как показано на рисунке.

2. Поместите указатель мыши в правый нижний угол ячейки В3, при этом он примет вид чёрного крестика.

3. Нажмите левую кнопку мыши и, удерживая её нажатой, перемещайте указатель вниз. Рядом с указателем появляется подсказка, указывающая числовое значение. Когда дойдёте до нужного значения, отпустите левую кнопку мыши.

В данном примере программа автоматически определяет шаг последовательности. Достаточно только ввести два первых члена прогрессии.

Использование меню предоставляет нам больше возможностей для ввода прогрессий.

Давайте рассмотрим пример ввода геометрической прогрессии. В ходе рассмотрения примера вы легко разберётесь, как с помощью меню вводить любую прогрессию (и арифметическую, и геометрическую).

1. Введите в ячейку В2 значение «». Выделите необходимый диапазон ячеек, как показано на рисунке.

2. Установите указатель на надпись «Меню» на Ленте и один раз щёлкните левой кнопкой мыши.

3. Установите указатель на надпись «Правка» и один раз щёлкните левой кнопкой мыши. Справа автоматически появится ещё один список.

4. Установите указатель мыши на пункт «Прогрессия…» и один раз щёлкните левой кнопкой мыши.

На экране появится окно «Прогрессия». В этом окне необходимо сделать следующие установки:

1. Установите указатель на надпись «геометрическая» и один раз щёлкните левой кнопкой мыши.

2. Введите шаг прогрессии, например, 2.

Читайте также:  Не выключается электрочайник после закипания

3. Если необходимо, установите предельное значение. В этом случае будут заполнены только те ячейки, значение в которых не превысит предельное значение. Давайте зададим предельное значение «».

4. Установите указатель мыши на кнопку «ОК» и один раз щёлкните левой кнопкой мыши.

Если вы всё сделали правильно, выделенный диапазон будет заполнен, как показано на рисунке. Обратите внимание, что не все ячейки выделенного диапазона были заполнены. Это связано с тем, что мы ввели максимальные ограничения для прогрессии. Следующий после 640 член прогрессии больше 1000. На этом заполнение прогрессии было остановлено.

Ещё раз внимательно изучите окно Прогрессия. Теперь вы без труда сможете ввести в ячейки любую прогрессию по вашему желанию. Помимо числовых значений в качестве членов прогрессии могут выступать и даты.

Автозаполнение можно производить не только вертикально, но и по горизонтали. Давайте рассмотрим часто встречающийся пример, когда необходимо в качестве наименований столбцов указать месяца года.

1. Введите в ячейку В2 значение «Январь».

2. Установите указатель мыши в правый нижний угол ячейки.

После того как указатель примет вид чёрного крестика, нажмите левую кнопку мыши и перемещайте указатель вправо. Рядом с крестиком появляется подсказка, указывающая значение месяца. После достижения нужного месяца отпустите левую кнопку мыши. Ячейки будут заполнены месяцами.

Часто приходится вводить одинаковые значения в соседние ячейки. Можно, конечно, каждый раз копировать содержимое в ячейки. Гораздо удобнее и быстрее это можно сделать, используя маркер автозаполнения.

Заполнение ячеек одинаковым содержимым

1. Введите значение в первую ячейку диапазона.

2. Установите указатель в правый нижний угол ячейки.

3. После того, как указатель примет вид чёрного крестика, нажмите левую кнопку мыши и, удерживая её нажатой, переместите указатель в нужном направлении. После заполнения нужного диапазона отпустите левую кнопку мыши.

Мы использовали стандартный приём автоматического заполнения.

Удобно для заполнения ячеек одинаковым содержимым использовать следующий приём. Например, вам необходимо заполнить несколько ячеек столбца одинаковыми значениями.

1. Введите содержимое первой ячейки диапазона.

2. Выделите те ячейки, в которые необходимо скопировать данное значение.

3. Войдите в меню «Правка» и выберите пункт «Заполнить».

4. Слева от пункта «Заполнить» появится список с указанием направления, в котором будут заполнены ячейки. Установите указатель мыши на пункт «Вниз» и один раз щёлкните левой кнопкой мыши.

Программа подсказывает, что для заполнения диапазона ячеек вниз можно воспользоваться комбинацией клавиш:

Пункты 3 и 4 вы можете заменить простым нажатием вышеуказанной комбинации клавиш.

Нажмите на клавиатуре клавишу и, удерживая её нажатой, нажмите клавишу с английской буквой «D» (русская буква «В»).

До этого мы вводили в ячейки числовые и текстовые значения.

Теперь мы приступаем к изучению самого важного раздела, который позволит вам научиться вводить в ячейки нужные формулы.

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a1, a2, a3, …, an, … .
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):

С определениями закончили, теперь самое время перейти от теории к практике.

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:


Далее мы увидим диалоговое окно с настройками параметров:


В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

  • Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
  • Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
  • Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
  • Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
  • Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
  • Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.
Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):

Читайте также:  Как изменить масштаб детали в компасе


В результате мы получим заполненный диапазон с заданным набором чисел:


Аналогичный результат можно получить и при задании элементов с помощью формул.
Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:


В итоге получаем:


Идентичного результата также можно добиться и через использование формул:

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

  • Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
  • Через общую формулу n-го члена;
  • С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.
Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид Fn=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.
В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2.
Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Удачи вам и до скорых встреч на страницах блога Tutorexcel.ru!

Кроме арифметической прогрессии можно создать и геометрическую прогрессию (то есть умножение каждого последующего числа на заданный коэффициент).

1 способ:

  1. В окне открытого листа введите начальное значение создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку диапазона.
  2. Выделите диапазон ячеек, в котором будет располагаться геометрическая прогрессия.
  3. Перейдите к вкладке «Главная» и в группе «Редактирование» раскройте меню кнопки «Заполнить».
  4. В списке команд выберите пункт «Прогрессия».
  5. В окне «Прогрессия» в группе «Тип» активируйте пункт «Геометрическая».
  6. В графе «Шаг» введите коэффициент развития прогрессии, то есть значение, на которое будут умножаться все числа, а в графе «Предельное значение» при необходимости задайте максимально возможное число прогрессии.
  7. Закройте окно кнопкой «ОК» и зайдите на

2 способ:

  1. В окне открытого листа введите начальные значения создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку и вторую ячейку диапазона.
  2. Выделите эти ячейки и наведите курсор на правый нижний угол выделенной зоны.
  3. Курсором в виде тонкого черного креста при нажатой ПРАВОЙ кнопке мыши протащите маркер заполнения по столбцу (вверх или вниз) либо по строке (вправо или влево) и отпустите
    кнопку мыши.
  4. В контекстном меню выберите в списке пункт «Экспоненциальное приближение».

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b 1 <displaystyle b_<1>> , b 2 <displaystyle b_<2>> , b 3 <displaystyle b_<3>> , … <displaystyle ldots > (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q <displaystyle q> (называемое знаменателем прогрессии), где b 1 ≠ 0 <displaystyle b_<1>
eq 0> , q ≠ 0 <displaystyle q
eq 0> : b 1 <displaystyle b_<1>> , b 2 = b 1 q <displaystyle b_<2>=b_<1>q> , b 3 = b 2 q <displaystyle b_<3>=b_<2>q> , … <displaystyle ldots > , b n = b n − 1 q <displaystyle b_=b_q> [1] .

Содержание

Описание [ править | править код ]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b n = b 1 q n − 1 . <displaystyle b_=b_<1>q^.>

Если 0>"> b 1 > 0 <displaystyle b_<1>>0> 0>"/> и 1>"> q > 1 <displaystyle q>1> 1>"/> , прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 q 1 <displaystyle 0 , — убывающей последовательностью, а при q 0 <displaystyle q знакочередующейся [2] , при q = 1 <displaystyle q=1> стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

| b n | = b n − 1 b n + 1 , <displaystyle |b_|=<sqrt b_>>,>

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Читайте также:  Как узнать какой стоит офис на компе

Примеры [ править | править код ]

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата [3] :8—9 .
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • π <displaystyle pi >, π <displaystyle pi >, π <displaystyle pi >, π <displaystyle pi >— стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -2.
  • 1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -1.

Свойства [ править | править код ]

  • Формула знаменателя геометрической прогрессии:

q = b n + 1 b n <displaystyle q=<frac >>>>

По определению геометрической прогрессии.

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

log ⁡ ( b n ) = log ⁡ ( b 1 q n − 1 ) = log ⁡ ( b 1 ) + ( n − 1 ) ⋅ log ⁡ ( q ) <displaystyle log(b_

)=log(b_<1>q^)=log(b_<1>)+(n-1)cdot log(q)> Формула общего члена арифметической прогрессии: a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d <displaystyle a_=a_<1>+(n-1)cdot d> .
В нашем случае
a 1 = log ⁡ ( b 1 ) <displaystyle a_<1>=log(b_<1>)> ,
d = log ⁡ ( q ) <displaystyle d=log(q)> .

  • b n 2 = b n − i b n + i <displaystyle b_

^<2>=b_b_>, если 1 i n <displaystyle 1 .

b n 2 = b n b n = b 1 q n − 1 b 1 q n − 1 = b 1 q n − 1 − i b 1 q n − 1 + i = b n − i b n + i . <displaystyle b_

^<2>=b_b_=b_<1>q^b_<1>q^=b_<1>q^b_<1>q^=b_b_.>

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле P n = ( b 1 ⋅ b n ) n 2 . <displaystyle P_

=(b_<1>cdot b_)^<frac <2>>.>

P n = ∏ i = 1 n b i = ∏ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 n ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 . <displaystyle P_

=prod _^b_=prod _^b_<1>q^=b_<1>^prod _^q^=b_<1>^<frac <2>>b_<1>^<frac <2>>prod _^q^.> Раскроем произведение ∏ i = 1 n q i − 1 <displaystyle prod _^q^> : ∏ i = 1 n q i − 1 = q 0 ⋅ q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q i − 1 = q 0 + 1 + 2 + … + ( i − 1 ) . <displaystyle prod _^q^=q^<0>cdot q^<1>cdot q^<2>cdot ldots cdot q^=q^<0+1+2+ldots +(i-1)>.> Выражение 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) <displaystyle 0+1+2+ldots +(n-1)> представляет собой арифметическую прогрессию с a 1 = 0 <displaystyle a_<1>=0> и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна S n = n ⋅ a 1 + a n 2 = n ⋅ 0 + ( n − 1 ) 2 . <displaystyle S_=ncdot <frac <1>+a_><2>>=ncdot <frac <0+(n-1)><2>>.> Откуда P n = b 1 n 2 b 1 n 2 ∏ i = 1 n q i − 1 = b 1 n 2 b 1 n 2 q n ( 0 + ( n − 1 ) ) 2 = ( b 1 b 1 q n − 1 ) n 2 = ( b 1 b n ) n 2 . <displaystyle P_=b_<1>^<frac <2>>b_<1>^<frac <2>>prod _^q^=b_<1>^<frac <2>>b_<1>^<frac <2>>q^<frac <2>>=left(b_<1>b_<1>q^
ight)^<frac
<2>>=left(b_<1>b_
ight)^<frac
<2>>.>

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле P k , n = P n P k − 1 . <displaystyle P_=<frac

>>>.>

P k , n = ∏ i = k n b i = ∏ i = 1 n b i ∏ j = 1 k − 1 b j = P n P k − 1 . <displaystyle P_=prod _^

b_=<frac <prod _^b_><prod _^b_>>=<frac >>>.>

  • Сумма n <displaystyle n>первых членов геометрической прогрессии S n = < ∑ i = 1 n b i = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 ( 1 − q n ) 1 − q , if q ≠ 1 n b 1 , if q = 1 <displaystyle S_

=<eginsum limits _^b_=<frac <1>-b_<1>q^><1-q>>=<frac <1>left(1-q^
ight)><1-q>>,&<mbox>q
eq 1\\nb_<1>,&<mbox
>q=1end>>

  • Доказательство через сумму: S n = ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + ∑ i = 2 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 2 n b 1 q i − 2 = b 1 + q ∑ i = 1 n − 1 b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n . <displaystyle S_

=sum _^b_<1>q^=b_<1>+sum _^b_<1>q^=b_<1>+qsum _^b_<1>q^=b_<1>+qsum _^b_<1>q^=b_<1>+qsum _^b_<1>q^-b_<1>q^.>То есть ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 + q ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 − b 1 q n <displaystyle sum _^b_<1>q^=b_<1>+qsum _^b_<1>q^-b_<1>q^>или ( 1 − q ) ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n . <displaystyle left(1-q
ight)sum _^
b_<1>q^=b_<1>-b_<1>q^.>Откуда ∑ i = 1 n b 1 q i − 1 = b 1 − b 1 q n 1 − q = b 1 1 − q n 1 − q . <displaystyle sum _^b_<1>q^=<frac <1>-b_<1>q^><1-q>>=b_<1><frac <1-q^><1-q>>.>

  • Доказательство индукцией по n <displaystyle n>. Пусть S n = b 1 1 − q n 1 − q . <displaystyle S_
  • =b_<1><frac <1-q^><1-q>>.>При n = 1 <displaystyle n=1>имеем: S 1 = ∑ i = 1 1 b i = b 1 = b 1 1 − q 1 1 − q . <displaystyle S_<1>=sum _^<1>b_=b_<1>=b_<1><frac <1-q^<1>><1-q>>.>При n → n + 1 <displaystyle n
    ightarrow n+1>имеем: S n + 1 = ∑ i = 1 n + 1 b i = ∑ i = 1 n b i + b n + 1 = b 1 1 − q n 1 − q + b 1 q n = b 1 ( 1 − q n 1 − q + q n ) = b 1 ( 1 − q n + q n − q n + 1 1 − q ) = b 1 1 − q n + 1 1 − q . <displaystyle S_=sum _^b_
    =sum _^
    b_+b_=b_<1><frac <1-q^><1-q>>+b_<1>q^=b_<1>(<frac <1-q^><1-q>>+q^)=b_<1>left(<frac <1-q^+q^-q^><1-q>>
    ight)=b_<1><frac <1-q^><1-q>>.>

    • Сумма всех членов убывающей прогрессии:

    | q | 1 <displaystyle left|q
    ight| , то b n → 0 <displaystyle b_ o 0>при n → + ∞ <displaystyle n o +infty >, и S n → b 1 1 − q <displaystyle S_ o <frac <1>><1-q>>>при n → + ∞ <displaystyle n o +infty >.

    lim n → ∞ S n = lim n → ∞ b 1 ( 1 − q n ) 1 − q = lim n → ∞ ( b 1 1 − q − b 1 q n 1 − q ) = b 1 1 − q − b 1 lim n → ∞ q n 1 − q . <displaystyle lim _S_

    =lim _<frac <1>left(1-q^
    ight)><1-q>>=lim _left(<frac <1>><1-q>>-b_<1><frac
    ><1-q>>
    ight)=<frac <1>><1-q>>-b_<1>lim _<frac
    ><1-q>>.> Если | q | 1 , <displaystyle left|q
    ight| то q n → 0 <displaystyle q^
    o 0> при n → ∞ . <displaystyle n o infty .> Поэтому lim n → ∞ q n 1 − q = 0. <displaystyle lim _<frac ><1-q>>=0.> Следовательно lim n → ∞ S n = b 1 1 − q . <displaystyle lim _S_=<frac <1>><1-q>>.>

    Ссылка на основную публикацию
    Установка mac os transmac
    В сети сейчас полно копипастов, по сути одной и той же статьи, про установку MacOS X на хакинтош примерно с...
    Тест для определения цвета волос
    Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
    Тест графики видеокарты 3dmark
    Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
    Установка op com на windows 10
    Всем привет! Очень многие вектроводы заказывают с Китая OP-COM и сталкиваются с проблемами установки драйверов самого OP-COM на различных системах...
    Adblock detector