Формула для нахождения периода колебаний

Формула для нахождения периода колебаний

Период
T <displaystyle T>
Размерность T
Единицы измерения
СИ с

Период колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние [1] , в котором она находилась в первоначальный момент, выбранный произвольно).

В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея в виду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.

Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическим колебаниям (а приближенно — с тем или иным успехом — и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: T <displaystyle T> (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это τ <displaystyle au > , иногда Θ <displaystyle Theta > и т. д.).

Единицы измерения: секунда и, в принципе, вообще единицы измерения времени.

Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:

T = 1 ν , ν = 1 T . <displaystyle T=<frac <1><
u >>,
u =<frac <1>>.>

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны λ <displaystyle lambda >

v = λ ν , T = λ v , <displaystyle v=lambda
u , T=<frac <lambda >>,>

где v <displaystyle v> — скорость распространения волны (точнее [2] — фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта — например, частицы — есть частота [3] колебаний его волновой функции).

Теоретическое вычисление периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно — через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решётки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Содержание

Периоды колебаний в природе [ править | править код ]

Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот электромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне

от 5·10 −5 с до 0,2с

(четкие границы его несколько условны).

Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света — в диапазоне

от 1,1·10 −15 с до 2,3·10 −15 с.

Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней — период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц.

В любом случае границей снизу может служить планковское время, которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено [4] , но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху — время существования Вселенной — более десяти миллиардов лет.

Периоды колебаний простейших физических систем [ править | править код ]

Пружинный маятник [ править | править код ]

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T = 2 π m k <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>> ,

где m <displaystyle m> — масса груза, k <displaystyle k> — жёсткость пружины.

Математический маятник [ править | править код ]

T = 2 π l g <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>>

где l <displaystyle l> — длина подвеса (к примеру, нити), g <displaystyle g> — ускорение свободного падения. Отсюда видно, что период колебаний маятника зависит только от длины подвеса и ничего более.

Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью [5] равен 2 секундам.

Читайте также:  Что размещается на панели задач

Физический маятник [ править | править код ]

T = 2 π J m g l <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>>

где J <displaystyle J> — момент инерции маятника относительно оси вращения, m <displaystyle m> — масса маятника, l <displaystyle l> — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник [ править | править код ]

T = 2 π I K <displaystyle T=2pi <sqrt <frac >>>

где I <displaystyle I> — момент инерции маятника относительно оси кручения, а K <displaystyle K> — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур [ править | править код ]

T = 2 π L C <displaystyle T=2pi <sqrt >> ,

где L <displaystyle L> — индуктивность катушки, C <displaystyle C> — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик Уильям Томсон.

Примечания [ править | править код ]

  1. ↑ Состояние механической системы характеризуется положениями и скоростями всех её материальных точек (строже говоря — координатами и скоростями, соответствующими всем степеням свободы данной системы), для немеханической — их формальными аналогами (которые также можно назвать координатами и скоростями в смысле абстрактного описания динамической системы — в количестве, также равном количеству её степеней свободы).
  2. ↑ Для монохроматических волн это уточнение самоочевидно, для близких к монохроматическим — интуитивно очевидно по аналогии со строго монохроматическими, для существенно немонохроматических — наиболее ясный случай сводится к тому, что фазовые скорости всех монохроматических компонент совпадают друг с другом, поэтому комментируемое утверждение также верно.
  3. ↑ С точностью до единиц измерения: в традиционных (обычных) системах физических единиц частота и энергия измеряются в разных единицах (поскольку до появления квантовой теории совпадение энергии и частоты было неизвестно, и, естественно, для каждой из величин была выбрана своя независимая единица измерения), поэтому при измерении их в обычных (разных) единицах, например, джоулях и герцах требуется переводной коэффициент (так называемая константа Планка). Однако можно выбрать систему единиц измерения так, чтобы в ней константа Планка стала равной 1 и пропала из формул; в такой системе единиц энергия любой частицы просто равна частоте колебания её волновой функции (а значит обратна периоду этого колебания).
  4. ↑ Имеется в виду, конечно же, невозможность экспериментального измерения времен конкретных процессов или периодов колебаний такого порядка, а не просто вычисление некоторого числа.
  5. ↑ Лучше, чем 0,5 %, если взять метрологическое или принятое техническое значение ускорения свободного падения; И с разбросом

0.53 % для максимального и минимального значений ускорения свободного падения, наблюдаемых на земле.

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные

Формулы колебания и волны

Уравнение гармонических колебаний:

где х — смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;

ω — круговая (циклическая) частота;

α — начальная фаза;

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний

1) пружинного маятника:

где k — жесткость пружины;

2) математического маятника:

где l — длина маятника,

g — ускорение свободного падения;

3) колебательного контура:

где L — индуктивность контура,

С — емкость конденсатора.

Частота собственных колебаний:

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:

1) амплитуда результирующего колебания

где А1 и А2 — амплитуды составляющих колебаний,

α1 и α2 — начальные фазы составляющих колебаний;

2) начальная фаза результирующего колебания

Уравнение затухающих колебаний:

е = 2,71. — основание натуральных логарифмов.

Амплитуда затухающих колебаний:

где А — амплитуда в начальный момент времени;

β — коэффициент затухания;

Коэффициент затухания:

где r — коэффициент сопротивления среды,

где R — активное сопротивление,

L — индуктивность контура.

Частота затухающих колебаний ω:

Период затухающих колебаний Т:

Логарифмический декремент затухания:

Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Амплитуда вынужденных колебаний

где ω — частота вынужденных колебаний,

fо — приведенная амплитуда вынуждающей силы,

Читайте также:  Какой hdd выбрать для ноутбука

при механических колебаниях:

при электромагнитных колебаниях:

Резонансная частота

Резонансная амплитуда

Полная энергия колебаний:

Уравнение плоской волны:

где ξ — смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

k — волновое число:

Длина волны:

где v скорость распространения колебаний в среде,

Т — период колебаний.

Связь разности фаз Δφ колебаний двух точек среды с расстоянием Δх между точками среды:

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль – держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Читайте также:  Как подключить кулер к юсб

Формула для математического маятника. Задача №1

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

Где l – длина нити, п = 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m – масса подвешенного к пружине груза, k – коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься – все-таки 2 величины из 4 являются константами – то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.

Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь – половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

Советы для решения задач, связанных с периодом

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

Ссылка на основную публикацию
Установка mac os transmac
В сети сейчас полно копипастов, по сути одной и той же статьи, про установку MacOS X на хакинтош примерно с...
Тест для определения цвета волос
Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
Тест графики видеокарты 3dmark
Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
Установка op com на windows 10
Всем привет! Очень многие вектроводы заказывают с Китая OP-COM и сталкиваются с проблемами установки драйверов самого OP-COM на различных системах...
Adblock detector