Фильтр чебышева 2 порядка

Фильтр чебышева 2 порядка

Фильтры низкой частоты Баттерворта.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза(для фильтра прототипа она равна 1рад/с);

n – порядок фильтра (n = 2).

Рис. 1.1 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Баттерворта

Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта не имеет нулей, а её полюса равномерно расположены на s-плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.

Рис. 1.2 – АЧХ фильтра Баттерворта

Рис. 1.3 – ФЧХ фильтра Баттерворта

АЧХ фильтра Беттерворта (Рис.1.2) является максимально плоской при ω = о и ω → ∞. Это значит, что в данных точках равны нулю 2n – 1 производных АЧХ по частоте.

В целом АЧХ монотонно спадает от 1 до 0 при изменении частоты от 0 до ∞.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=buttap(3); #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

plot(w, abs(h)),grid #график АЧХ

plot(w, unwrap(angle(h))), grid #график ФЧХ

Фильтр Чебышева 1-го рода.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза

Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Рис. 2.4 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева первого рода

Функция передачи фильтра Чебышева не имеет нулей, а её полюса расположены в левой половине эллипса на s-плоскости.

Рис. 2.5 – АЧХ фильтра Чебышева первого рода

Рис. 2.6 – ФЧХ фильтра Чебышева первого рода

АЧХ фильтра Чебышева первого рода (Рис.2.2) в полосе пропускания (при ω ≤ ∞) колеблется между значениями и 1, а вне полосы пропускания (при ω > ∞) монотонно затухает до 0. По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. При ω → ∞ АЧХ стремится к 0 и является максимально плоской.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=cheb1ap(3,0.5) #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэффициент передачи

Фильтр Чебышева 2-го рода.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза

Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Рис. 3.7 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева второго рода

Передаточная функция имеет нули и полюсы.

Рис. 3.8 – АЧХ фильтра Чебышева второго рода

Рис. 3.9 – ФЧХ фильтра Чебышева второго рода

Коэффициент передачи при нулевой частоте равной 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен 0 при нечетном порядке фильтра, а при четном – уровню пульсации. При ω = 0 АЧХ (Рис.3.2) является максимально плоской.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=cheb2ap(3,10) #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

plot(z,’o’) #график расположения нулей

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

Институт цветных металлов и золота СФУ

Кафедра автоматизации производственных процессов

Дисциплина “Применение ЭВМ в СУ”

Красноярск 2007 г.

 Типы фильтров  ФНЧ Баттерворта  ФНЧ Чебышева I типа  Минимальный порядок фильтра  ФНЧ с МОС 

 ФНЧ на ИНУН  Биквадратные ФНЧ  Настройка фильтров 2 порядка  ФНЧ нечетного порядка 

 ФНЧ Чебышева II типа  Эллиптические ФНЧ  Эллиптические ФНЧ на ИНУН  Эллиптические ФНЧ на 3 конденсаторах  Биквадратные эллиптические ФНЧ  Настройка ФНЧ Чебышева II типа и эллиптических 

 Настройка фильтров 2 порядка  Всепропускающие фильтры  Моделирование ФНЧ  Создание схем 

 Расчет переходных х-к  Расчет частотных х-к  Выполнение работы  Контрольные вопросы 

Лабораторная работа № 1

”Изучение фильтрация сигналов в среде Micro-Cap 6/7”

1. Изучить основные типы и характеристики фильтров

2. Исследовать моделирование фильтров в среде Micro-Cap 6.

3. Исследовать характеристики активных фильтров в среде Micro-Cap 6

Теоретические сведения

1. Типы и характеристики фильтров

Фильтрация сигналов играет важную роль в цифровых системах управления. В них фильтры используются для устранения случайных ошибок измерения (наложения сигналов помех, шумов) (рис. 1.1). Различают аппаратную (схемную) и цифровую (программную) фильтрацию. В первом случае используют электронные фильтры из пассивных и активных элементов, во втором случае применяют различные программные методы выделения и устранения помех. Аппаратная фильтрация применяется в модулях УСО (устройств связи с объектом) контроллеров и распределенных систем сбора данных и управления.

Цифровая фильтрация используется в УВМ верхнего уровня АСУ ТП. В данной работе подробно рассматриваются вопросы аппаратной фильтрации.

Рис.1.1. Фильтрация зашумленного сигнала

Различают следующие типы фильтров:

фильтры нижних частот — ФНЧ (пропускают низкие частоты и задерживают высокие частоты);

фильтры верхних частот (пропускают высокие частоты и задерживают низкие частоты);

полосно-пропускающие фильтры (пропускают полосу частот и задерживают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы);

полосно-заграждающие фильтры (которые задерживают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы).

Рис. 1.2. АЧХ фильтра низких частот

Рис. 1.3. АЧХ фильтра высоких частот

Рис. 1.4. АЧХ полосно-пропускающего фильтра

Рис. 1.5. АЧХ полосно-заграждающего фильтра

Передаточная функция (ПФ) фильтра имеет вид:

где V 1 и V 2 — входное и выходное напряжения фильтра.

Читайте также:  Как найти процент от числа формула пример

Для s = j w можно записать

где ½ Н ( j w)½- модуль ПФ или АЧХ; j (w) — ФЧХ; w — угловая частота (рад/с), связанная с частотой f (Гц) соотношением w = 2p f .

П Ф реализуемого фильтра имеет вид

где а и b — постоянные величины, а т , n = 1, 2, 3 . ( m £ n ).

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Чем он выше, тем лучше АЧХ, но сложнее схема, а стоимость выше.

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят, — это полосы пропускания и в них значение АЧХ ½ Н ( j w)½ велико, а в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, — это полосы задерживания и в них значение АЧХ мало, а в идеальном случае равно нулю.

Рис.1.6. Реальная и идеальная АЧХ ФНЧ

АЧХ реальных фильтров отличаются от теоретических АЧХ. Для ФНЧ идеальная и реальная АЧХ приведены на рис. 1.6.

В реальных фильтрах полоса пропускания — это диапазон частот (0 —  c ), где значение АЧХ больше заданной величины А 1 . Полоса задерживания — это диапазон частот ( 1 -∞), в котором АЧХ меньше значения — A 2 . Интервал частот перехода от полосы пропускания к полосе задержания, ( c - 1 ) называют переходной областью.

Зачастую для характеристики фильтров вместо амплитуды используют затухание. Затухание в децибелах (дБ) определяют по формуле

a = –20 log 10 ½Н(jw)½.

Значению амплитуды А = 1 соответствует затухание a = 0. Если A 1 = A/ = 1/ = 0,707, то затухание на частоте w c :

а 1 = –20 log 10 (1/ ) = 10 log 10 2 = 3 дБ.

Обычно а 1 = 0,1; 0,5; 1; 2 или 3 дБ, а типовое значение затухания в полосе задерживания a 2 больше и находится в пределах от 20 до 100 дБ. (0,1 ³ A 2 ³ 0,00001).

Рис. 1.7. Идеальная и реальная АЧХ фильтра

Идеальная и реальная характеристики ФНЧ с использованием затухания приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.8. ФНЧ ( а ) и его АЧХ ( б )

Пассивные фильтры (рис. 1.8, 1.9) создаются на основе пассивных R , L , C элементов.

На низких частотах (ниже 0,5 МГц), параметры катушек индуктивности неудовлетворительны: большие размеры и отклонения характеристик от идеальных. Катушки индуктивности плохо приспособлены для интегрального исполнения. Простейший фильтр низких частот (ФНЧ) и его АЧХ показаны на рис. 1.8.

Активные фильтры создаются на основе R , C элементов и активных элементов — операционных усилителей (ОУ). ОУ должны иметь: высокий коэффициент усиления (в 50 раз больше, чем у фильтра); высокую скорость нарастания выходного напряжения (до 100-1000 В/мкс).

Рис. 1.9. Т- и П-образные ФНЧ

Активные ФНЧ первого и второго порядков приведены на рис. 1.10 — 1.11. Построение фильтров n -го порядка осуществляется каскадным соединением звеньев N 1 , N 2 , . , N m с ПФ Н 1 ( s ) , H 2 ( s ) , . Н m ( s ).

Фильтр четного порядка с п > 2 содержит n /2 звеньев второго порядка, соединенных каскадно. Фильтр нечетного порядка с п > 2 содержит ( п – 1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого порядка.

Для фильтров первого порядка ПФ

где С — постоянное число; P ( s ) — полином первой или нулевой степени.

Для фильтров второго порядка ПФ

где В и С — постоянные числа; P ( s ) — полином второй или меньшей степени.

У ФНЧ максимальное затухание в полосе пропускания a 1 не превышает 3 дБ, а затухания в полосе задерживания a 2 находится в пределах от 20 до 100 дБ. Коэффициент усиления ФНЧ это значение его передаточной функции при s = 0 или значение его АЧХ при w = 0 , т.е . равен А.

Рис. 1.10. Активный ФНЧ 1 порядка

Рис. 1.11. Активный ФНЧ 2 порядка

Различают следующие типы ФНЧ:

Баттерворта — обладают монотонной АЧХ (рис. 1.12);

Чебышева (типа I) — АЧХ содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания (рис. 1.13);

инверсные Чебышева (типа II) — АЧХ монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания (рис. 1.14);

эллиптические — АЧХ имеет пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 1.15).

Рис. 1.12. АЧХ фильтра Баттерворта

Рис. 1.13. АЧХ фильтра Чебышева I типа

Рис. 1.14. АЧХ фильтра Чебышева II типа

Рис. 1.15. АЧХ ‘эллиптического фильтра

Фильтр Баттерворта НЧ n -го порядка имеет АЧХ следующего вида

АЧХ фильтра Баттерворта монотонно спадает при росте частоты. Увеличение порядка n ведет к улучшению характеристики (рис. 1.16).

Рис. 1.12. АЧХ фильтров Баттерворта n –го порядка

ПФ фильтра Баттерворта как полиномиального фильтра равна

где К — постоянное число.

Для нормированного фильтра Баттерворта, т. е. при w с = 1 рад/с ПФ для п = 2 , 4, 6 в виде произведения сомножителей равна

Для п = 3 , 5, 7 ПФ нормированного фильтра Баттерворта равна

Коэффициенты a k и b k задаются при b 0 = 1 и k =1, 2 . выражениями:

Коэффициент усиления К фильтра в (1.10) равен произведению коэффициентов усиления звеньев А k и/или А 0 в (1.11) или (1.12).

Фильтры Чебышева I типа имеют АЧХ такого вида:

где параметры e и К — постоянные числа, а С п — полином Чебышева первого рода степени п , равный

Здесь x – аргумент функции C n , равный отношению частот ω/ω с .

Фильтр Чебышева называют равноволновым, т.к. все пульсации равны по значению. Для К = 1 размах пульсаций в полосе пропускания ( ripple passband )

Размах R р можно уменьшить, выбрав значение параметра e достаточно малым.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания — постоянный размах пульсаций — выражается в децибелах как

Читайте также:  Отличия windows 7 professional от ultimate

Рис. 1.17. АЧХ фильтров Чебышева n –го порядка

ПФ фильтров НЧ Чебышева и Баттерворта идентичны по форме и описываются выражениями (1.15) — (1.16). АЧХ фильтра Чебышева лучше АЧХ фильтра Баттерворта такого же порядка, т. к. у первого уже ширина переходной области. Однако у фильтра Чебышева ФЧХ хуже (более нелинейна) чем ФЧХ у фильтра Баттерворта.

Рис. 1.18. ФЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта

АЧХ фильтра Чебышева данного порядка лучше АЧХ Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако ФЧХ фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с ФЧХ фильтра Баттерворта.

ФЧХ фильтра Чебышева для 2-7-го порядков приведены на рис. 1.18. Для сравнения на рис. 1.18 штриховой линией изображена ФЧХ фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что ФЧХ фильтров Чебышева высокого порядка хуже ФЧХ фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что АЧХ фильтра Чебышева высокого порядка лучше АЧХ фильтра более низкого порядка.

1.1. ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА ФИЛЬТРА

На основе рис. 1.8 и 1.9 можно сделать вывод, что чем выше порядок фильтров Баттерворта и Чебышева, тем лучше их АЧХ. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, важен выбор минимально необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.

Пусть в изображенной на рис. 1.2 общей характеристике заданы максимально допустимое затухание в полосе пропускания a 1 (дБ), минимально допустимое затухание в полосе задерживания a 2 (дБ), частота среза w с (рад/с) или f c (Гц) и максимальная допустимая ширина переходной области T W , которая определяется следующим образом:

(Следовательно, полоса задерживания должна начинаться с некоторой частоты w 2 1 .) Задача состоит в нахождении минимального порядка n , который будет удовлетворять всем этим условиям.

Для фильтра Баттерворта с a 1 = 3 дБ минимальный порядок можно определить, подставив приведенные выше условия в (1.18) и решив его относительно порядка п . В результате получаем

где логарифмы могут быть или натуральными, или десятичными.

Уравнение (1.24) можно записать в виде

w с /w 1 = ( T W / w с ) + 1

и полученное соотношение подставить в (1.25) для нахождения зависимости порядка п от ширины переходной области, а не от частоты w 1 . Параметр T W / w с называется нормированной шириной переходной области и является безразмерной величиной. Следовательно, T W и w с можно задавать и в радианах на секунду, и в герцах.

Подобным же образом на основе (1.18) для К = 1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева

Уравнение (1.25) снова можно использовать для исключения частоты w 1 .

В качестве примера предположим, что заданы a 1 = 3 дБ, a 2 = 20 дБ, f c = 1000 Гц, а ширина переходной области T W не должна превышать 300 Гц. Из (1.26) получаем

w с /w 1 = (300/1000) + 1 =1,3

а из (1.25) следует, что удовлетворяющий этим требованиям фильтр Баттерворта должен иметь следующий минимальный порядок:

Поскольку порядок должен быть целым числом, то берем ближайшее большее целое число: n = 9.

Минимальный порядок фильтра Чебышева, удовлетворяющего этим требованиям, находится из (1.27):

Снова находя ближайшее большее целое число, получаем п = 4.

Этот пример наглядно иллюстрирует преимущество фильтра Чебышева над фильтром Баттерворта, если основным параметром является АЧХ. В рассмотренном случае фильтр Чебышева обеспечивает ту же самую крутизну передаточной функции, что и фильтр Баттерворта удвоенной сложности.

1.2. ФНЧ С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

И БЕСКОНЕЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Рис. 1.11. ФНЧ с МОС второго порядка

Существует много способов построения активных ФНЧ Баттерворта и Чебышева. Далее будут рассмотрены некоторые из наиболее применяемых в настоящее время общих схем, начиная с простых (с точки зрения числа необходимых схемных элементов) и переходя к наиболее сложным.

Для фильтров более высокого порядка уравнение (1.29) описывает ПФ типового звена второго порядка, где К – коэффициент его усиления; В и С – коэффициенты звена, приведенные в справочной литературе [1]. Одна из наиболее простых схем активных фильтров, реализующих ПФ нижних частот согласно (1.29), приведена на рис. 1.11.

Рис. 1.12. ФНЧ первого порядка

Она иногда называется схемой с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления из-за наличия двух путей прохождения сигнала обратной связи через элементы C 1 и R 2 , а также вследствие того, что ОУ в этом случае работает как прибор с бесконечным коэффициентом усиления. Схема ФНЧ первого порядка приведена на рис. 1.12.

Эта схема реализует уравнение (1.29) с инвертирующим коэффициентом усиления – К ( К > 0) и

Сопротивления, удовлетворяющие уравнению (1.30), равны

где значения C 1 и C 2 выбираются произвольно. Сопротивления задаются в омах, а емкости – в фарадах.

Следовательно, по заданным К, В, С и w с можно выбрать значения C 1 и C 2 и вычислить требуемые значения сопротивлений. Емкости должны иметь номинальные значения, которые в результате расчета дают реальное значение сопротивления R 2 ; . Это условие выполняется, если

Целесообразный подход состоит в том, чтобы задать номинальное значение емкости C 2 , близкое к значению 10/ f c мкФ и выбрать наибольшее имеющееся номинальное значение емкости C 1 , удовлетворяющее уравнению (1.31). Сопротивления должны быть близки к значениям, вычисленным по (1.31). Чем выше порядок фильтра, тем более критичными являются эти требования. Если в наличии отсутствуют вычисленные номинальные значения сопротивлений, то следует отметить, что все значения сопротивлений можно домножить на общий коэффициент при условии, что значения емкостей делятся на тот же самый коэффициент.

Читайте также:  Ivms 4200 поток шифруется

В качестве примера предположим, что необходимо разработать фильтр Чебышева с МОС второго порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ, полосой пропускания 1000 Гц и коэффициентом усиления равным 2. В этом случае К = 2, w с = 2π (1000), а из приложения А [1] находим, что В = 1,425625 и С=1,516203. Выбирая номинальное значение C 2 = 10/ f c = 10/1000=0,01 мкФ = 10 -8 Ф, из (1.32) получаем

Выберем номинальное значение емкости C 1 = 0,001 мкФ = 1 нФ и вычислим по-(1.31) значения сопротивлений. В результате

Теперь предположим, что необходимо разработать фильтр Баттерворта шестого порядка с МОС, частотой среза f c = 1000 Гц и коэффициентом усиления K = 8. Он будет состоять из трех звеньев второго порядка, каждое с ПФ, определяемой уравнением (2.1). Выберем коэффициент усиления каждого звена K = 2, что обеспечивает требуемый коэффициент усиления самого фильтра 2∙2∙2=8. Из приложения А для первого звена находим В = 0,517638 и С = 1 . Снова выберем номинальное значение емкости С 2 = 0,01 мкФ и в этом случае из (2.21) найдем С 1 = 0,00022 мкФ. Зададим номинальное значение емкости С 1 = 200 пФ и из (2.20) найдем значения сопротивлений R 2 =139,4 кОм; R 1 =69,7 кОм; R 3 = 90,9 кОм. Два других звена рассчитываются аналогичным способом, а затем звенья соединяются каскадно для реализации фильтра Баттерворта шестого порядка.

Из-за своей относительной простоты фильтр с МОС является одним из наиболее популярных типов фильтров с инвертирующим коэффициентом усиления. Он обладает также определенными преимуществами, а именно хорошей стабильностью характеристик и низким выходным полным сопротивлением; таким образом, его можно сразу соединять каскадно с другими звеньями для реализации фильтра более высокого порядка. Недостаток схемы состоит в том, что невозможно достичь высокого значения добротности Q без значительного разброса значений элементов и высокой чувствительности к их изменению. Для достижения хороших результатов коэффициент усиления К и добротность Q должны быть ограничены значением, приблизительно равным 10. Коэффициент усиления может быть больше, если значение добротности выбрано меньшим и выполняется ограничение, например: КQ = 100 при Q ≤ 10.

Из (1.11) можно установить, что добротность Q определяется соотношением . В фильтре Баттерворта нижних частот шестого порядка первое звено имеет наибольшее значение добротности Q = 1/0,517638 = 1,93. Следовательно, в этом примере можно обоснованно применять фильтр с МОС, получая достаточно хорошие результаты.

ЗначениеВ, С для первого звена выбрано из таблицы при неравномерности передачи в полосе пропускания = 1 дБ

С=0,903087; В=0,170341; К=3,606;

С1= произвольное значение.

Выберем конденсатор C1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 680пф.

Выберем конденсатор C1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 180 пФ

Выберем резистор R1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 1,2кОм.

Выберем резистор R2 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 680кОм.

Расчёт второго звена RC-фильтраЧебышева 2 порядка

Алгоритм расчёта параметров элементов фильтра полностью аналогичен предыдущему:

Значение В, С для второго звена выбрано из таблицы при неравномерности передачи в полосе пропускания = 1 дБ

С=0,19598; В=0,411239; К=3,606;

С1= произвольное значение.

Выберем конденсатор C1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 680пф.

Выберем конденсатор C1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 180 пФ

Выберем резистор R1 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 3 кОм.

Выберем резистор R2 из ряда номиналов согласно ГОСТ2825-67 и публикации 63 IEC равный 150кОм.

По расчётным данным создаем принципиальную электрическую схему фильтра Чебышева 2 порядка с МОС (рис.13);

2. АЧХ фильтра Чебышева 2 порядка с МОС построена в промежутке 500-1МГц в логарифмической шкале (рис.14).

3.По расчётным данным создаем принципиальную электрическую схему фильтра Чебышева11порядка с МОС путём соединения между собой каскадно (рис.15);

4. АЧХ фильтра Чебышева5 порядка с МОС (рис.18)

Заключение.

На основании расчетно-графической работы можно сделать вывод, что чем выше порядок фильтров Баттерворта и Чебышева ,тем лучше их амплитудно-частотная характеристика. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, для разработчика представляет интерес выбор минимальной необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.

Расчёты порядка фильтра в расчетно-графической работе для фильтра Баттервортаn=7 и Чебышева n=4 , рассмотрев АЧХ и ФЧХ наглядно видно преимущество фильтра Чебышева над фильтром Баттерворта, если основным параметром является амплитудно-частотная характеристика. В рассмотренном случае фильтра Чебышева обеспечивает ту же самую крутизну передаточной функции, что и фильтр Баттерворта удвоенной сложности.

Список литературы

Ногин В.Н. Аналоговые электронные устройства. — М.: Радио и связь, 1992.

Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1982.

Хьюлсман Л.П., Аллен Ф.Е. Введение в теорию и расчет активных фильтров/Пер. с англ. под ред. А.Е. Знаменского. М.: Радио и связь, 1984.

Алексеев А.Г., Войшвилло Г.В. Операционные усилители и их применение. М.: Радио и связь, 1989.

Расчет электронных схем. Примеры и задачи/Г.И. Изъюрова, Г.В. Королев, В.А. Терехов и др. М.: Высш. школа., 1987.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. школа., 1988.

Ногин В.Н. К расчету активных фильтров Чебышева. Методическая разработка/ НГТУ; Нижний Новгород, 1999.

Ссылка на основную публикацию
Установка mac os transmac
В сети сейчас полно копипастов, по сути одной и той же статьи, про установку MacOS X на хакинтош примерно с...
Тест для определения цвета волос
Пожалуйста, не копируйте понравившиеся вам статьи незаконно. Мы предлагаем вам разместить активную ссылку на наш сайт в случае, если вы...
Тест графики видеокарты 3dmark
Наиболее известная программа тестирования производительности, ставшая де-факто стандартом и точкой отсчета в измерениях игровых возможностей видеокарт. Основную популярность программе обеспечило...
Установка op com на windows 10
Всем привет! Очень многие вектроводы заказывают с Китая OP-COM и сталкиваются с проблемами установки драйверов самого OP-COM на различных системах...
Adblock detector