Что значит привести матрицу к ступенчатому виду

Что значит привести матрицу к ступенчатому виду

Верхнетреугольной называется матрица у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Данный онлайн калькулятор приводит матрицу к верхнетреугольному виду с подробным описанием хода решения на русском языке. Для пользования калькулятором необходимо выбрать размерность матрицы и ввести значения её элементов.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица , полученная из исходной матрицы конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается .

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля ( ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом ( ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

Решение. В первом столбце матрицы выбираем ведущий элемент . Делим все элементы первой строки на (или, что то же 1 1. самое, умножаем на ):

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы выбираем ведущий элемент . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы выбираем ведущий элемент . Первая строка — ведущая. Делим ее элементы на . Получаем

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

Читайте также:  Раздать вай фай мегафон с телефона

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

Решение. Первый столбец матрицы — нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

Берем в качестве ведущего элемент . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке — первую, умноженную на (-2); к четвертой строке — первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы — это матрица (размеров ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при ).

Пример 1.32. Привести матрицу к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

Таким образом, исходная матрица при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Читайте также:  Как сделать poe на русском

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число , то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число ( ).

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.

Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса и методом Барейса.

Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)

Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:

  1. Все нулевые строки матрицы стоят последними
  2. Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
  3. Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

Пример ступенчатой матрицы:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4

Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

Пример треугольной (верхнетреугольной) матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением ее диагональных элементов.

Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

  1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
  2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
  3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
Читайте также:  Дальний план в кино

И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».

Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):

Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:

Зануляем во втором уравнении:

Во втором уравнении больше не содержится

Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

Ссылка на основную публикацию
Что значит код ошибки 805а8011
Многие владельцы смартфонов с операционной системой Windows Phone не могут войти в учетную запись магазина Marketplace. На экране появляется код...
Хочу создать группу в контакте
Приветствую вас, дорогие читатели. Социальные сети уже давно вошли в нашу жизнь, поэтому всем владельцам абсолютно любого бизнеса, как традиционного,...
Хром для андроид тв приставок
Всем привет! Предлагаю очередной раз поднять больную тему браузеров для Android TV. В разделе «вопрос – ответ» уже много раз...
Что значит интегрированный процессор
Здравствуйте, уважаемые пользователи и любители компьютерного железа. Сегодня порассуждаем на тему, что такое интегрированная графика в процессоре, зачем она вообще...
Adblock detector