Что такое целые числа определение

Что такое целые числа определение

Информация этой статьи формирует общее представление о целых числах. Сначала дано определение целых чисел и приведены примеры. Далее рассмотрены целые числа на числовой прямой, откуда становится видно, какие числа называются целыми положительными числами, а какие – целыми отрицательными. После этого показано, как при помощи целых чисел описываются изменения величин, и рассмотрены целые отрицательные числа в смысле задолженности.

Навигация по странице.

Целые числа – определение и примеры

Дадим определение целых чисел. Чтобы его понять, нужно знать про натуральные числа, а также иметь представление о противоположных числах.

Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.

Определение целых чисел утверждает, что любое из чисел 1 , 2 , 3 , …, число 0 , а также любое из чисел −1 , −2 , −3 , … является целым. Теперь мы легко можем привести примеры целых чисел. Например, число 38 – целое, число 70 040 – тоже целое, нуль – целое число (напомним, что нуль НЕ является натуральным числом, нуль – целое число), числа −999 , −1 , −8 934 832 – также являются примерами целых чисел.

Все целые числа удобно представлять как последовательность целых чисел, которая имеет следующий вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последовательность целых чисел можно записать и так: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Из определения целых чисел следует, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Поэтому, любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Целые числа на координатной прямой

Давайте взглянем на координатную прямую, чтобы увидеть точки, соответствующие целым числам. Будем считать, что координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо.

Из построения координатной прямой следует, что началу отсчета и точкам, отмеченным штрихами, взаимно однозначно соответствуют целые числа. То есть, каждой из указанных точек соответствует единственное целое число, следовательно, несовпадающим точкам отвечают разные целые числа. Началу отсчета (точке O ) соответствует целое число нуль, а точкам, которые отмечены штрихами, соответствуют другие целые числа. Никаким другим точкам координатной прямой целые числа не соответствуют, и никакому целому числу не отвечает точка координатной прямой, отличная от указанных выше.

В любую точку, отмеченную штрихом (координатами этих точек являются целые числа), мы можем попасть, если от начала отсчета последовательно отложим некоторое количество единичных отрезков.

Целые положительные и целые отрицательные числа

Изучив материал статьи положительные и отрицательные числа, мы из всех целых чисел можем выделить целые положительные и целые отрицательные числа.

Целые положительные числа — это целые числа со знаком плюс.

Например, число 5 – это целое положительное число. Другими примерами целых положительных чисел являются числа 11 , 501 , 40 000 003 .

Целые отрицательные числа – это целые числа со знаком минус.

Приведем несколько примеров целых отрицательных чисел. Числа −6 , −5 555 , −12 121 – целые отрицательные.

Число нуль (число 0 ) не является ни целым положительным, ни целым отрицательным числом. Нуль как бы отделяет целые отрицательные числа от целых положительных.

Вообще, в силу определения противоположных чисел, любое число, противоположное целому положительному числу, есть целое отрицательное число. И наоборот, любое число, противоположное целому отрицательному числу, есть целое положительное. Это утверждение позволяет дать определения целых положительных и целых отрицательных чисел на основе их сравнения с нулем (здесь нужно владеть материалом статьи сравнение целых чисел).

Читайте также:  Игра дракон когда нет интернета

Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.

Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.

Целые положительные и отрицательные числа можно также определить по их положению на координатной прямой. На горизонтальной координатной прямой точки, координатами которых являются целые положительные числа, лежат правее начала отсчета. В свою очередь точки с целыми отрицательными координатами располагаются левее точки O .

Понятно, что множество всех целых положительных чисел представляет собой множество натуральных чисел. В свою очередь множество всех целых отрицательных чисел – это множество всех чисел, противоположных натуральным числам.

Отдельно обратим Ваше внимание на то, что любое натуральное число мы можем смело назвать целым, а любое целое число мы НЕ можем назвать натуральным. Натуральным мы можем назвать лишь любое целое положительное число, так как целые отрицательные числа и нуль не являются натуральными.

Целые неположительные и целые неотрицательные числа

Дадим определения целых неположительных чисел и целых неотрицательных чисел.

Все целые положительные числа вместе с числом нуль называют целыми неотрицательными числами.

Целые неположительные числа – это все целые отрицательные числа вместе с числом 0 .

Другими словами, целое неотрицательное число – это целое число, которое больше нуля, либо равно нулю, а целое неположительное число – это целое число, которое меньше нуля, либо равно нулю.

Примерами целых неположительных чисел являются числа −511 , −10 030 , 0 , −2 , а в качестве примеров целых неотрицательных чисел приведем числа 45 , 506 , 0 , 900 321 .

Наиболее часто термины «целые неположительные числа» и «целые неотрицательные числа» используют для краткости изложения. Например, вместо фразы «число a целое, причем a больше нуля или равно нулю» можно сказать « a – целое неотрицательное число».

Описание изменения величин при помощи целых чисел

Пришло время поговорить о том, для чего вообще нужны целые числа.

Основное предназначение целых чисел заключается в том, что с их помощью удобно описывать изменение количества каких-либо предметов. Разберемся с этим на примерах.

Пусть на складе находится некоторое количество деталей. Если на склад привезут еще, к примеру, 400 деталей, то количество деталей на складе увеличится, а число 400 выражает это изменение количества в положительную сторону (в сторону увеличения). Если же со склада заберут, например, 100 деталей, то количество деталей на складе уменьшится, а число 100 будет выражать изменение количества в отрицательную сторону (в сторону уменьшения). На склад не будут привозить детали, и не будут увозить детали со склада, то можно говорить о неизменности количестве деталей (то есть можно будет говорить о нулевом изменении количества).

В приведенных примерах изменение количества деталей можно описать при помощи целых чисел 400 , −100 и 0 соответственно. Положительное целое число 400 показывает изменение количества в положительную сторону (увеличение). Отрицательное целое число −100 выражает изменение количества в отрицательную сторону (уменьшение). Целое число 0 показывает, что количество осталось без изменения.

Удобство использования целых чисел по сравнению с использованием натуральных чисел заключается в том, что не нужно явно указывать увеличивается количество или уменьшается, — целое число определяет изменение количественно, а знак целого числа указывает направление изменения.

Целые числа также могут выражать не только изменение количества, но и изменение какой-либо величины. Разберемся с этим на примере изменения температуры.

Читайте также:  Первый внешний жесткий диск

Повышение температуры, скажем, на 4 градуса выражается положительным целым числом 4 . Понижение температуры, например, на 12 градусов можно описать отрицательным целым числом −12 . А неизменность температуры – это ее изменение, определяемое целым числом 0 .

Отдельно нужно сказать о трактовке отрицательных целых чисел как величины долга. Например, если у нас есть 3 яблока, то целое положительное число 3 показывает количество яблок, которыми мы владеем. С другой стороны, если мы должны кому-либо отдать 5 яблок, а у нас их нет в наличии, то эту ситуацию можно описать при помощи отрицательного целого числа −5 . В этом случае мы «обладаем» −5 яблоками, знак минус указывает на долг, а число 5 определяет долг количественно.

Понимание отрицательного целого числа в качестве долга позволяет, например, обосновать правило сложения отрицательных целых чисел. Приведем пример. Если кто-то должен 2 яблока одному человеку и одно яблоко – другому, то общий долг составляет 2+1=3 яблока, поэтому −2+(−1)=−3 .

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел.

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

Целые числа – это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Вопросы по теме:
Как называются числа, находящиеся в ряду целых чисел: а) справа от нуля; б) слева от нуля?
Ответ: а) натуральные числа или целые положительные числа. Оба термина несут один и тот же смысл.
б) целые отрицательные числа.

Назовите наибольшее целое число?
Ответ: ряд положительных целых чисел бесконечен, поэтому наибольшего целого числа не существует.

Читайте также:  Как подключить устройство к itunes

Какое наименьшее целое число?
Ответ: ряд отрицательных чисел бесконечен, поэтому наименьшего целого числа не существует.

Пример №1:
Сколько целых чисел расположено между числами -33 и 102?
Решение:
У нас 32 отрицательных числа, есть нуль и 101 положительных чисел.
32+1+101=134
Ответ: 134

Пример №2:
Приведите пример целого числа.
Целое число: -16523, -100, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1009, 1984.

Пример №3:
Сколько четных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Ответ: -2, 2, 4.

Определение целого числа

Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.

Обозначается множество целых чисел $Z$ .

Очевидным является такое вложение $N subset Z$ .

На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение целых чисел

  • если $n geq 0$ и $p geq 0$ , то $s=n+p$ ;
  • если $n 0$ и $p 0$ и $p 0$ $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
  • если $n 0$ $|n| leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Задание. Вычислить сумму целых чисел:

Решение. 1) 1) $5+19=24$

2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна

3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна

4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна

Ответ.

Умножение целых чисел

Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:

  • если $n geq 0$ и $p geq 0$ , то $m=n cdot p$ ;
  • если $n 0$ и $p 0$ , то $s=-(|n| cdot|p|)$ ;
  • если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти произведение целых чисел:

$1)5 cdot 9 quad;quad 2 ) 5 cdot(-9) quad;quad 3 )-5 cdot(-9) quad;quad 4 ) 5 cdot 0$

Решение. 1) $5 cdot 9=45$

2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:

3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:

$$-5 cdot(-9)=|-5| cdot|-9|=5 cdot 9=45$$

4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:

Ответ.

Вычитание целых чисел

Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу

т. е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу $p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.

Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.

Задание. Найти разность чисел:

$1 )-27-13 quad;quad 2 ) 27-(-5)$

Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:

По правилу сложения целых чисел это равно:

Второе выражение запишется в виде:

Ответ.

Деление целых чисел

Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n
eq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:

На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима — не для любой пары целых чисел существует частное. Поэтому говорят, что множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.

Ссылка на основную публикацию
Что значит код ошибки 805а8011
Многие владельцы смартфонов с операционной системой Windows Phone не могут войти в учетную запись магазина Marketplace. На экране появляется код...
Хочу создать группу в контакте
Приветствую вас, дорогие читатели. Социальные сети уже давно вошли в нашу жизнь, поэтому всем владельцам абсолютно любого бизнеса, как традиционного,...
Хром для андроид тв приставок
Всем привет! Предлагаю очередной раз поднять больную тему браузеров для Android TV. В разделе «вопрос – ответ» уже много раз...
Что значит интегрированный процессор
Здравствуйте, уважаемые пользователи и любители компьютерного железа. Сегодня порассуждаем на тему, что такое интегрированная графика в процессоре, зачем она вообще...
Adblock detector